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4. Ciò stabilito, si consideri la trasformazione generale della varietà W 

 in un'altra W, definita nel n. 1, e in questa ipotesi si calcoli l'invariante J[ l) 

 di W, per mezzo del sistema |S'|. 



Il sistema aggiunto ad jS'| è il sistema (2), e il genere aritmetico 

 di una sua superficie è eguale alla somma dei generi aritmetici delle 

 due superficie S' a -J- 2 Y T' h e ^_ W k , aumentata del genere della intersezione 



h k 



delle superficie medesime. 



a) Il modo di comportarsi delle superfìcie T' h fra loro e rispetto alla 

 superfìcie S' a è indipendente dalla esistenza in W delle curve R fc , queste 

 curve non avendo altro effetto, quando passano per i punti T h , come qui si 

 suppone, che di introdurre sulle superfìcie T h delle curve eccezionali, le quali 

 non influiscono sul genere aritmetico della superfìcie S' a -\-2^_T h . Quindi 



h 



(n. 3, 3°)) questo genere aritmetico è P a -j-4o\ 



b) Con un procedimento di ripetizione, si trova che il genere arit- 

 metico della superficie VRj è: 



k 



-T Qn + Z l g(K , RU, + r;, +2 + - + R' T ). 



E poiché una curva R ft si appoggia complessivamente in ó k punti a tutte le 

 curve successive (n. 1), si ha: 



g(% , + K k+2 -1 (- R;) Ó H + 1 



donde : 



h= f_ V(b; , Rft-fi + r; c+2 h — h r;) = - y s n + * — 1 . 



?ì=i 



Quindi il genere aritmetico della superfìcie ^R' f è: 



— y^ft — x ^ + t — i = — e , 



k h 



indicando con q il genere della curva composta da tutte le curve fondamen- 

 tali R ft . 



c) L'intersezione delle due superficie S' a 2 y_T h e ^EJ : si com- 



h k 



pone di t -\-2gt curve, due qualunque delle quali non hanno punti comuni ; 

 quindi il suo genere è : 



X g(B' a K) + 2 J g(T h K) -t->t+1. 

 Ora, poiché una curva R ft incontra una superfìcie S a in a h punti, si ha : 



li Ti 



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