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Inoltre, siccome una curva R ft possiede in ogni T h un punto multiplo 

 secondo , così si ha ancora : 



hh hh 



ove si chiami A il numero totale dei rami delle curve R ft passanti per i 

 punti T ft . 



Così per il genere dell'intersezione delle due superficie SÓ + 2yT^ 

 e >_Ra: s ^ trova: 



-y« ft -2A + i. 



Quindi, per quanto si è osservato in principio, il genere aritmetico di 

 una superficie del sistema (2), è : 



P 0 + 4<r — ? — 2A — 2> + 1 • 



h 



Se si dice il numero delle intersezioni di una superficie S con una 

 curva R k , l'invariante di Castelnuovo-Enriques della superficie corrispon- 

 dente S' è : 



n 



Infine, i valori di P' ,p ' ,ri sono dati dalle formolo (1). 



Così si hanno tutti gli elementi necessari per calcolare l'invariante J ( i ] , 

 definito dalla forinola (13) applicata al sistema |S'| della varietà W; quindi 

 si trova : 



= p a _|_ 4cr — ? — 2A — y« k +l- P — iì-\-J(3 k -ì-3p — 2n — 3 



h n 



donde, tenendo presente la stessa forinola (13) ed osservando che l'espressione: 



y «» — y 



k h 



è il carattere d'immersione 6 della curva composta da tutte le curve fonda- 

 mentali R ft ('), segue : 



4$ = j<v -f 4<r — {q -j- 6 -f- 2X — 1) . 



(') In virtù della proprietà fondamentale delle superficie aggiunte (Pannelli, loc. cit., 

 n. 1, teor. IV), si ha : 



| So -S| = |S' fl -S'| 



donde, indicando con K una curva qualunque (semplice 0 composta) della varietà W segue 



(KS«) - (KS) = (KSJ,) - (KS') 

 il che dimostra che il numero 



(KS„) - (KS) 



non dipende dalla scelta del sistema |S|, ma solo dalla curva K in quanto e data nella 

 varietà W. Questo numero chiamasi carattere d'immersione della curva K nella varietà W. 



