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cioè si ha la forinola 



(13) 



[ri Sj , r 2 s 2 ] x 



che dimostra il nostro assunto. 



I simboli di Riemann dunque, oltre che formare essi stessi un sistema 

 covariante, possono comporsi come differenze di due elementi di un altro 

 sistema covariante nel senso del Calcolo differenziale assoluto. 



Matematica. — Ricerche sopra le funzioni derivate. Nota 

 di Beppo Levi, presentata dal Socio C. Segre. 



In questa Nota vogliamo riannodare alle proposizioni relative alle fun- 

 zioni derivate, dimostrate nella Nota precedente ( l ), il problema delle funzioni 

 primitive e il teorema fondamentale del calcolo integrale, e dedurne ancora 

 alcuni corollari per le funzioni derivate medesime. 



Dobbiamo perciò premettere una proposizione relativa all' integrale inde- 

 finito di una funzione integrabile nel senso del Lebesgue: 



1. L'integrale indefinito di una funzione integrabile in un intervallo 

 a ... b nel senso del Lebesgue,, ammette in tutti i punti dell'intervallo, 

 fatta al più eccezione per quelli di un aggregato di misura nulla, deri- 

 vata unica e determinata ed uguale precisamente alla funzione integrando. 



La proposizione sarà evidentemente dimostrata quando sia provato che, 

 separatamente, la funzione integrale ammette derivate determinate a destra 

 e a sinistra uguali ciascuna alla funzione integrando, in tutti i punti del- 

 l'intervallo a ... b fatta al più eccezione per quelli di un aggregato di mi- 

 sura nulla. 



Ci occuperemo, per fissare le idee, della derivata a destra. Sia f(x) la 

 funzione che si integra e si ponga 



Per l'ipotesi dell'integrabilità di f{x), dato arbitrariamente un e, si 

 può determinare nell' intervallo a ... b un aggregato K E tale che: 

 1° La misura di K £ sia <. t; 



(') Questi Rendiconti, pag. 551. 



Sarà 



