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2° Esista imo £ tale che in ogni punto di a ... b, fuori di K E , \f(x)\ <. £; 



Si chiami f t (x) la funzione che è uguale a f(x) in ogni punto di a...b 

 non appartenente a K £ ed è nulla nei punti di K s ; f t (x) sarà misurabile e, 

 per un teorema dovuto ai sig. Borei, Lebesgue e Vitali ( 1 ), si può deter- 

 minare in a ... b un aggregato chiuso di misura >. b — a — J tale che i 



valori di f t (x) in esso formino una funzione continua. Si chiamino rispetti- 

 vamente C £ la parte di questo aggregato e D 3 la parte dell'aggregato com- 

 plementare esterne a K s . La misura di C s sarà e s _> & — a — £ — ^ , quella 



di D s è d t < | . 

 Sarà 



dove gli indici C ; , D s , K= apposti ai tre integrali significano che essi sono 

 presi negli aggregati di punti dell'intervallo x 0 ...x 0 -{-h appartenenti ri- 

 spettivamente a Cs , D= , K= . Chiameremo rispettivamente y=(# 0 h) , ó z (% 0 h) , 

 x z (x 0 h) le misure di queste tre parti di x 0 ... x 0 h , per modo che sarà 



Noi porteremo ora la nostra attenzione sui soli punti x 0 che apparten- 

 gono a C s . 



Si ricordi che, in ogni punto, \fi{x)\ <. f; sarà quindi 



Ciascuno dei numeri y z , ó- : , x z è funzione di h e di x 0 e tende a 0 

 con li: si può quindi considerare il lim ^ come funzione di x 0 , e consi- 

 derare l'aggregato M S71 dei punti ^ 0 (di C=) per cui 



(1) 



f(x) dx 



lim — H =r - 



(') Borei, £/» théorème sur les ensembles mesurables, Comptes-rendus, dèe. 1903; 

 Lebesgue, Sur une propriété des fonctions, Comptes-rendus, dèe. 1903, Vitali, Una pro- 

 prietà delle funzioni misurabili, Rend. dell'Istituto Lombardo (2) 38, 1905, §3, pag. 601. 



