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quindi a b — a col tendere di i a oo : si può quindi assegnare nell'inter- 

 vallo a...b un aggregato E di misura nulla tale che, tosto che x 0 non ap- 

 partiene ad E , è soddisfatta la condizione precedentemente enunciata per 

 cui si può affermare l'esistenza della derivata a destra di <t>(x) in x 0 e la 

 sua uguaglianza a f{x). Tale aggregato E è il complementare di 



limncC^-M^-N^M') 



od anche l'aggregato, contenuto in questo, complementare di 



lim J J(C E . — M.^ — N v „p . 



Non altrimenti si ragionerà per le derivate a sinistra. 

 2. Veniamo ora a stabilire il teorema fondamentale del calcolo integrale 

 per le funzioni a numeri derivati non limitati: 



Se l'aggregato dei valori della funzione f(x) in un qualunque aggre- 

 gato di punti di misura nulla contenuto in a ... b ha misura nulla, e 

 se ha misura nulla l'aggregato dei punti in cui qualcuna delle funzioni 

 dei numeri derivati di f(x) può divenire infinita, 



se inoltre esiste l'integrale del Lebesgue esteso all'intervallo a ... b ( 2 ) 

 di una delle dette funzioni derivate (per es. della funzione u(x) derivata 

 superiore a destra), 



la funzione f(x) differisce al più per una costante dall'integrale in- 

 definito di tal funzione derivata. 



Si ponga infatti 



<D{x) = J* u{x) dx . 



Le due funzioni f(x) , (P(x) si comportano come le funzioni F(#) , <X>(x) 

 del n. 3 della Nota precedente. Infatti dalla proposizione del n. 1, per quanto 

 riguarda la <t>{x) , dalle ipotesi presenti, per la f(x) , risulta evidente che 

 sono soddisfatte tutte le ipotesi di quella proposizione se appena si astrae 

 da quella relativa ai valori della differenza F(x) — <P(x) . Riguardo a questa 

 si osservi che, a causa della proposizione del n. prec, l'aggregato dei punti 

 in cui <&(x) può avere una derivata infinita ha misura nulla e che l'aggre- 

 gato dei valori di una funzione integrale qualunque nei punti di un aggre- 



( J ) Indicando con 77Ct; l'aggregato comune a tutti gli aggregati Gt; (prodotto logico 

 di essi aggregati) e analogamente, in seguito, con 2€Xi la somma degli aggregati me- 

 desimi. 



( 2 ) E quindi ad ogni intervallo contenuto in a... b. Esistono funzioni derivate le 

 quali non ammettono integrale del Lebesgue. Cfr. per un esempio: Lebesgue, Annali di 

 matematica (3) 7, pag. 269-70. 



