— 680 — 



gato di misura nulla ha misura nulla (') ; siccome quindi, per le ipotesi fatte, 

 nell'aggregato di misura nulla in cui le derivate di f(x) o di <t>(x) possono 

 essere infinite, ciascuna delle due funzioni assume un aggregato di valori di 

 misura nulla, un aggregato di valori di misura nulla assumerà pure in detti 

 punti la differenza f(x) — (P(%)( 2 ). 



3. Notevole corollario di questa proposizione è il seguente : 

 Se di una delle quattro funzioni derivate della funzione- f(x) (per es. 

 della funzione u(x) derivata superiore a destra) esiste l'integrale del Le- 

 besgue esteso alt intervallo a...b; se inoltre le quattro funzioni dei nu- 

 meri derivati della funzione f(x) sono finite nell'intervallo a ... b , o più 

 generalmente se l'aggregato dei punti di a ... b in cui qualcuna delle funzioni 

 dei numeri derivati di f{x) può divenire infinita è riducibile, la funzione 



(') È questa conseguenza immediata della definizione dell'integrale. Un aggregato 

 di punti x di misura nulla si può racchiudere entro un aggregato S di segmenti di mi- 

 sura totale s piccola a piacere: si spezzi l'integrale dei valori assoluti della funzione 

 integrando in due parti : l'una relativa ai punti in cui la funzione integrando è in valore 

 assoluto > £ , l'altra relativa ai punti residui. La prima parte diviene piccola a piacere 

 prendendo I sufficientemente grande; la seconda parte, considerata solo nei segmenti 

 di S è < £ e e quindi piccola a piacere per e sufficientemente piccolo ; dunque l'integrale 

 dei valori assoluti, esteso a S è piccolo a piacere. Ora questo integrale è minore o uguale 

 alla variazione totale dell'integrale dato nei segmenti di S, e quindi maggiore o uguale 

 alla misura dei valori dell'integrale nei punti dell'aggregato considerato. 



( 2 ) Lo si vede facilmente osservando che l'aggregato dei valori considerati di f{x) 

 si può racchiudere in un aggregato numerabile di segmenti Si di misura totale <V: si 

 pensi allora numerato questo aggregato di segmenti e all't-mo si faccia corrispondere un 

 v]i tale che Z»7< < e": si immagini ancora racchiuso l'aggregato dei valori considerati di 

 ${x) in aggregati di segmenti di misure totali rispettivamente i valori della dif- 

 ferenza f(x) — <f>(x) per gli x considerati e per f{x) in s, , sono compresi fra i valori 

 di A — fx per ì in Sj e |U nel nominato aggregato di segmenti di misura <C??t. Si con- 

 clude facilmente che l'aggregato dei valori considerati per la differenza f{x) — ha 

 misura •< «' -f- e". 



( 3 ) Per vero tosto che le funzioni dei numeri derivati sono finite, sono verificate 

 le ipotesi del precedente enunciato ; inquantochè, se l'aggregato dei valori della f(x) in un 

 aggregato £X di punti di misura nulla ha misura non nulla, esiste un aggregato di punti 

 in cui almeno una derivata di f(x) diviene infinita. Per provarlo basta ripetere un ragio- 

 namento analogo a quello del n. 1 della Nota precedente. Si racchiuda l'aggregato Ci 

 in un aggregato Ss' di segmenti di misura s': se l'aggregato dei valori di f{x) nei punti 

 di d ha misura > v, in uno almeno di questi segmenti è contenuto un segmento in cui 



il rapporto incrementale di f(x) è > j.. e dentro ad esso si può determinare simil- 

 mente un segmento in cui il rapporto incrementale è _> e così via ; scegliendo i 

 numeri e', «"...< 1 (e si possono prendere piccoli a piacere), si ottiene una serie di se- 



f{x) differisce al più per una costante da I u(x) dx ( 3 ). 



a 



