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Però la considerazione simultanea delle quattro derivate porta in queste 

 proposizioni una complicazione superiore al necessario. Sulla riduzione delle 

 ipotesi alla considerazione d'una derivata sola, quella che si integra, ritor- 

 nerò ancora una volta. 



4. L'identità, a meno d'una costante, delle funzioni f(x) e <J>(x) ci per- 

 mette di applicare alla prima le proprietà dimostrate per la seconda nel n. 1. 

 Si può quindi affermare che: 



Se una funzione è tale che l'aggregalo dei valori di essa in ogni 

 aggregato di misura nulla abbia misura nulla, che l'aggregato dei punti 

 in cui qualcuna delle sue funzioni derivate può essere infinita abbia mi- 

 sura nulla; tale infine che una qualunque di queste funzioni derivate am- 

 metta l'integrale del Lebesgue esteso all'intervallo a...b, tal funzione ha 

 derivata determinata e finita in tutti i punti dell'intervallo a ... b, tolto al 

 più un aggregalo di punti di misura nulla. 



Applicando questa osservazione alla proposizione del n. 3 della Nota prece- 

 dente si vede che si possono in essa alterare alcun poco le ipotesi e dire che: 



Si potrà affermare che due funzioni continue F(#) e Q>(x) non pos- 

 sono differire in un intervallo a ... b che per una costante tosto che si 

 sappia che le due funzioni hanno una coppia di derivate omonime uguali 

 in tutti i punti dell'intervallo, fatta astrazione dai punti di un aggregato 

 di misura nulla, e che inoltre le due funzioni hanno finite le derivate in 

 tutti i punti dell'intervallo, tolti al più i punti di un aggregato di misura 

 nulla, purché ciascuna delle due funzioni o più generalmente la loro dif- 

 ferenza assuma in ogni aggregato di punti di misura nulla un aggregato 

 di valori di misura nulla. 



5. Terminerò questa Nota con alcune considerazioni sul problema delle 

 funzioni primitive che hanno derivata determinata in tutti i punti. A queste 

 funzioni si applicano intanto le proposizioni precedenti: Ogni funzione avente 

 derivata determinata e finita in tutti i punti dell'intervallo a ... b ed inte- 

 grabile in tale intervallo è uguale — a meno d'una costante — all'inte- 



gmenti contenuti ciascuno nel precedente e che ha per limite un punto in cui almeno 

 una derivata è infinita. 



È chiaro che: 1° l'aggregato Q non è numerabile, perchè sarebbe numerabile e 

 quindi di misura nulla l'aggregato dei valori corrispondenti di f(x) ; 2° l'aggregato Q è 

 contenuto in ogni derivato dell'aggregato dei punti in cui una derivata è infinita, od almeno 

 si possono da esso sopprimere senza danno i punti che non appartengono a questo deri- 

 vato, perchè l'aggregato dei valori di f(x) in essi ha misura nulla. Quindi se in un 

 aggregato di punti di misura nulla l'aggregato dei valori della funzione ha misura non 

 nulla, l'aggregato dei punti in cui una derivata di f(x) è infinita non può essere riducibile. 



Rendiconti. 1906, Voi. XV, 1° Sem. 87 



