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graie indefinito della propria derivata ( J )- Quando poi la derivata della 

 funzione possa divenire infinita, la proposizione resterà pur vera purché l'ag- 

 gregato dei valori della funzione in ogni aggregato di punti di misura nulla 

 abbia misura nulla. Quando questa condizione non fosse soddisfatta, la propo- 

 sizione non potrebbe sussistere perchè, come si osservò poc'anzi, una funzione 

 integrale non può assumere un aggregato di valori di misura non nulla in un 

 aggregato di punti di misura nulla. Cionondimeno si può dimostrare che il 

 problema delle funzioni primitive è ancora perfettamente determinato: se 

 cioè una funzione ha derivata unica e determinata in tutti i punti d'un 

 intervallo, la funzione medesima è determinata nell'intervallo, a meno d'una 

 costante, dai valori della sua derivata in un aggregato di punti dell'in- 

 tervallo, il cui aggregato complementare abbia misura nulla ( 2 ). 

 6. Per mostrarlo osserveremo anzitutto che : 



Se una funzione ha derivata unica e determinata in tutti i punti di 

 un intervallo a ... b e se tal derivata è nulla od infinita in tutti i punti che 

 non appartengono ad un aggregato di misura nulla, la derivata medesima 

 e nulla in tutto l'intervallo e la funzione si riduce quindi ad una costante. 



Nelle presenti ipotesi esistono infatti in ogni segmento punti in cui la 

 derivata è nulla o infinita; ma la derivata non può allora essere costante- 

 mente d'uno stesso segno (non nulla) in tutti i punti di un segmento, perchè 

 una funzione monotona non può avere derivata infinita in tutti i punti di 

 un aggregato di misura fi >• o ( 3 ) ; e, per un noto teorema del sig. Dar- 



(') Quando la derivata è integrabile nel senso di Biemann-Cauchy, la proposizione 

 è nota (cfr. Schoenflies, Bericht. u. Mengenlehre, pag. 213). 



( a ) Questa proposizione può essere confrontata, almeno nei termini in cui è espressa, 

 con altre note, per es. la seguente dovuta al Volterra (V. Sui principi del calcolo inte- 

 grale, Giornale di Battaglini, 19, pag. 333) « Se la derivata di una funzione si conosce 

 « in tutti i punti di un intervallo esclusi quelli appartenenti ad un gruppo di punti ed 

 « ai suoi punti limiti, la condizione necessaria e sufficiente affinchè si possa determinare 

 « la funzione primitiva (conoscendone il valore in un punto) è che il gruppo sia rinchiu- 

 u dibile in intervalli arbitrariamente piccoli ». Qui si osservi però che il Volterra ammette 

 implicitamente di ragionar sempre sopra funzioni finite ; nella proposizione in questione la 

 derivata medesima della funzione incognita deve supporsi finita. Una notevole divergenza si 

 mostra inoltre fra la proposizione citata e quella del testo, in quanto la prima enuncia 

 come condizione necessaria una che non è affatto rispettata nell'enunciato del testo. Di 

 ciò deve ricercarsi la ragione nella condizione che il Volterra viene ad imporre all'aggre- 

 gato eccezionale di essere chiuso ed in qualche dubbio che può nascere su ciò che le fun- 

 zioni che si offrono come esempio, diverse fra loro ed aventi la stessa derivata fuori del 

 gruppo eccezionale, possano non aver derivata nei punti di questo gruppo eccezionale. In- 

 vero, se si abbandona l'ipotesi che il gruppo eccezionale sia chiuso, si troverà che una 

 proposizione in contraddizione coll'enunciata necessità, fu dimostrata dallo Scheeffer fin 

 dal 1885 (Acta Mathematica, voi. 5, pag. 282). 



( 3 ) Altrimenti, scelto arbitrariamente un e e un ,«,<,u, prossimo quanto si vuole 

 a (a,, esisterebbe un x tale che l'aggregato dei punti x iu cui il rapporto incrementale 



della funzione nell'intervallo x ... os-\-h, per ogni A<_ £ è ha misura > f*i; 



