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boux in ogni segmento in cui la derivata abbia valori di segno contrario, 

 esistono punti in cui la derivata è nulla : in ogni intervallo esistono dunque 

 punti in cui la derivata è nulla. 



Si aggiunga a questa osservazione il fatto che la derivata (supposta 

 unica e determinata in ogni punto di a ... b) costituisce una funzione di 

 l a classe del Baire e quindi rispetto ad ogni aggregato chiuso di valori della 

 variabile possiede punti di continuità in ogni intervallo ( 2 ) ; segue che in 

 ogni intervallo esisteranno segmenti in cui essa derivata resta piccola a pia- 

 cere. In un tal segmento non esisteranno punti in cui la derivata sia infinita : 

 quindi (pei n. 1, 2 della mia Nota precedente) la funzione sarà costante in 

 esso e la derivata vi sarà ovunque nulla. Negli estremi di tal segmento la 

 derivata sarà ancora nulla: infatti, per la già citata proposizione del sig. Darboux 

 fra due punti in cui la derivata assuma valori diversi, ne esistono di quelli 

 in cui la derivata assume valori intermedi ; si conclude che non potrebbe la 

 derivata esser =(= 0 negli estremi del segmento senza esser ={= 0 in qualche 

 punto del segmento medesimo. L'aggregato dei punti in cui la derivata può 

 esser 4= 0 deve dunque esser contenuto nell'aggregato non denso — perfetto — 

 complementare a un aggregato di segmenti (e non può contenere gli estremi 

 di questi segmenti). E si deve supporre che in questo aggregato esso sia 

 denso, perchè ogni segmento in cui non esistano punti a derivata =f= 0 si può 

 pensare previamente soppresso dall'aggregato. In ogni segmento contenente 

 punti di questo aggregato perfetto, son pure contenuti punti in cui la derivata 

 è nulla e che appartengono ad esso aggregato (gli estremi dei segmenti com- 

 plementari); quindi, per la ricordata proprietà delle funzioni di l a classe, esi- 

 sterà in esso un segmento contenente punti dell'aggregato medesimo ed in cui 

 la derivata resta piccola quanto si vuole; e riapplicando la proposizione già 

 ricordata (Nota precedente n. 1, 2) tale derivata sarà ancora nulla in tutti i 

 punti del nominato aggregato perfetto, contenuti in tal segmento. Ora questa 

 conclusione contraddice alla definizione di quell'aggregato. Ne segue la non 

 esistenza dell'aggregato medesimo. 



7. Segue dalla proposizione ora dimostrata che se due funzioni hanno 

 derivata in tutti i punti dell'intervallo a-..b, e, se si astrae da un aggre- 

 gato di misura nulla, vi hanno precisamente la stessa derivata, la loro diffe- 



questo aggregato è chiuso, e ripetendo per esso un ragionamento analogo a quello fatto 

 nel n. 1 per l'aggregato è chiuso M EY1TC7? e nel n. 1 della Nota precedente per l'aggre- 

 gato B, si concluderebbe che si può determinare un aggregato di segmenti contenuto 



in a ... b in cui l'incremento della funzione è >y e cioè grande a piacere. 



0) Cfr. Lebesgue, Lecons sur Vintégration etc. pag. 89. Bini, Fondamenti per una 

 teoria delle funzioni di variabile reale, n. 172. 



(-) Baire, Thèse, Sur les fonctions de variables réelles, pag. 30 (Annali di Mate- 

 matica, 1899). 



