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renza — la quale in tutti i punti di a ... b ha derivata, e precisamente deri- 

 vata nulla o infinita, se si astrae dal nominato aggregato — deve ridursi ad 

 una costante onde risulta la proposizione enunciata alla fine del n. 4. 



Si può ancora rilevare che una funzione la quale abbia derivata in tutti 

 i punti di un intervallo e precisamente derivata nulla nell'aggregato com- 

 plementare di un aggregato di misura nulla, dovendo essere costante, non 

 differirà dall'integrale della propria derivata ; fatto notevole se si osserva che 

 appunto per esemplificare i casi d'eccezione al teorema fondamentale del cal- 

 colo integrale furono immaginate le funzioni continue costanti a tratti, per 

 cui l'integrale della derivata è nullo senza che sia costante la funzione (*) : 

 tali funzioni non hanno derivata determinata in tutti i punti dell'intervallo 

 e non possono quindi illuminare il problema nelle presenti ipotesi. 



Matematica. — Sulle trasformazioni che lasciano invariata 

 la frequenza di insiemi lineari. Nota di Ettore Bortolotti, 

 presentata dal Corrispondente E. Cesàro. 



Se si indica con r n il numero degli elementi di una data classe C , che 

 sono compresi fra i primi n della successione u x ,u 2 , ... u n ,..., la probabilità, 

 per un termine preso a caso fra i primi n di quella successione, di appar- 



r n 



tenere alla classe C , è espressa dal rapporto — , ed il limite, per n = co , 

 di cotesto rapporto, rappresenta la frequenza degli elementi di classe C , 

 nella successione u n ■ 



I concetti di probabilità e di frequenza possono estendersi ad insiemi 

 [£] , lineari non numerabili ; intendendo per probabilità dei punti [£] 

 nell'intervallo x "X , il rapporto della estensione esteriore della parte 

 di [£] contenuta in x "X , alla lunghezza X — x ; e per frequenza dei 

 punti [£] in a (a punto a distanza finita, od a punto dell'infinito), il 

 limite delle probabilità, che i punti []f] hanno in intorni di a , i cui 

 estremi si accostino indefinitamente ad a . 



La frequenza viene, in qualche modo, ad indicarci il grado di conden- 

 sazione dei punti [£] intorno ad a ; e pare intuitivo l'ammettere, che se ai 

 punti dell'intorno x "X , dove l'insieme è dato ed il punto a è conte- 

 nuto, si fanno corrispondere quelli del segmento y (x) " y (X) , mediante una 

 operazione y — f(x) , espressa da una funzione sempre crescente insieme con 

 la sua derivata; nella corrispondenza biunivoca ordinata, continua, che così 

 si stabilisce, la frequenza sia un elemento invariante. 



(') V. Harnack, Math. Ann. 24; Schoenflies, 1. c. pag. 166 e seg. 



