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5. Sia x n una successione soddisfacente le condizioni (') 

 x 0 = x x n — x n - x > 0 , 



(3) ]ìmx„ = 



lim — = 0 (a finito); 



lim — = 0 (a = co ); 



la frequenza a sinistra nel punto a a distanza finita si potrà calcolare cer- 

 cando il limite 



(4) lim ' a ) = lim S(Zn,Zn+ l )+S(X n + ì ,X n + 2 )-\- 



71=23. « #n n=» {%n+\ X„) + (#«+2 X n + X ) -\ ' 



e quella nel punto dell'infinito, cercando il limite 



lim S(^q > = lim S (x 0 , a?Q + S , -j 1- S (a?,,,, . a w ) 



„=« — # 0 (#i — ^o) + («2 — #i)H h - ■ ®n-l) ' 



6. Se noi ora supponiamo che la variabile 



fin = a X n , 



abbia ordine finito di infinitesimo; osservando che 



4Pn = Xn-l — X n , 



ed applicando il teorema 2° (v. anche l'enunciato del teor. 3°) della mia 

 Nota: Sopra una ricerca di limite, avremo dalla foratola (4), che se esiste 

 il lìmite 



/ 6 x lim ] ( Sfo,,^) S(X^X 2 ) | S(X n ^.Xn) 



n=<x> fi \ OC i OCq CC<ì X\ vCyi $n—\ 



questo ci dà la frequenza dell'insieme dato nel punto a ( 2 ). 



7. Similmente, se la variabile 



B« = x„ — x 0 



è infinita di ordine finito, dalla (5) si deduce che, quando esiste il limite 



lim l j S(^ 0 ,^) _ S'fo.jg,) SjXn-t ,X n ) ) 



„=«> n \ X x — X 0 X 2 — Xi X n — X n -l ) ' 



( 1 ) La condizione = 0 , che noi richiediamo per la successione cp n = a — % n 



(per a, finito, cp n = x n , per a infinito), è soddisfatta da tutte le variabili monotone qp n , 

 che decrescono meno rapidamente di e~ ln , o che crescono meno rapidamente di e in (cfr. Bor- 

 tolotti, Sul limite del quoziente di due funzioni, Ann. di Mat. t. Vili, serie III, 

 pag. 273 e seguenti. 



( 2 ) Intendiamo la frequenza a sinistra, altrettanto può dirsi per la frequenza a 

 destra; per punti a distanza finita noi ci limiteremo, inseguito, a considerare la fre- 

 quenza a sinistra. 



