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questo ci dà l'espressione della frequenza del dato insieme, nel punto del- 

 l'infinito. Se la variabile B n = x n — % 0 , è infinita del primo ordine il 

 limite (6) esiste sempre in tutti i casi in cui esiste il limite (5), cioè in 

 cui è determinata la frequenza che l'insieme dato ha nel punto dell'infi- 

 nito 



8. Kiassumendo si ha il teorema: 



Se la successione sempre crescente x n tende al punto a (all'infinito) 

 e le differenze a — x n (x n — ^o), sono per n = co, infinitesime (infinite) 

 di ordine finito, la frequenza dell' insieme [£] nel punto a è espressa dal 

 limite (se esiste) per n = co della media delle probabilità, che i punti [f] > 

 hanno, rispettivamente, negli intervalli x 0 ~X\ , X\ "x 2 , ••• x n -i "x n , deter- 

 minati dai punti della 'successione x n . 



Questo limite sicuramente esiste, se l'insieme dato ha, nel punto 

 % n = co , frequenza determinata, e se la successione x n — è infinita del 

 primo ordine per n — co . 



9. Sia g>(x) la indicatrice di frequenza ( 2 ) dei punti [£] • 



La estensione esteriore della parte di [£] contenuta nel segmento x "X , 

 sarà data dall'integrale definito: 



(7) S(x,X) = r<p(x)dx. 



10. Se, mediante la funzione continua, derivabile, sempre crescente o 

 sempre decrescente y (x) , si fanno corrispondere ai punti del segmento x "X , 

 quelli del segmento y(x) ~#(X); all'insieme [£] corrisponderà un insieme [17] , 

 la cui estensione esteriore sarà parimenti espressa dalla formola 



S(y(x),y(K)) = C$(y)dy, 



(8) [y = y(x) t = y(X); 

 ®(y) indicatrice di frequenza dell' insieme 



0 dall'altra equivalente : 



(9) S(y,Y)= i\(x).y'(x)dx; 



e se supponiamo la tj continua nel tratto x "X , avremo la relazione 



(10) \S(y,Y) = y'(x + 8(X-x))S(x,X) 

 (O<0<1. 



(') Cfr. la Nota: Sopra una ricerca di limite, al teorema 1°. 



( a ) Si prenda cioè <*>[!]=! , cp(x) = 0, per . Cfr. Cesàro, Sull'uso della in- 



tegrazione in alcune questioni di Aritmetica. Kendiconti Circ. Mat. di Palermo t. I, 

 pag. 293 e seguenti. 



