11. Teorema. Sia y(x) ima funzione reale della variabile reale x, 

 infinita di ordine finito per x = co , monotona, insieme con la sua derivata 

 y\x), in tutti i punti a distanza finita di un determinato intorno x a ~<x> 

 dell'infinito; la quale trasformi biunivocamente i punti del raggio x 0 "oo , 

 in quelli del raggio y 0 "co . 



Ad ogni insieme [£] , di punti x , con frequenza determinata nel punto 

 dell'infinito, corrisponde un insieme [>? = #(£)], di eguale frequenza. 



Preso ad arbitrio il numero positivo li, si costruisca la successione 



(11) x n = x 0 -\~nh. 

 Ponendo 



(12) y n = y{x n ), 

 dalla forinola (10) ricaviamo 



S(y n -i , y n ) _ SU-»-! , x») __ 8(x„-i ■ x n ) 



h . y'{X n -i + 6 n -lh) il ~ Xn — Xn-l ' 



e, per la applicazione del teorema sui limiti già ricordato ('), 



r g S{!U ,y n ) 



hm — — — = lim — v ° J ' = 



" =co f h . y\xi-, + Ai-, h ) " =c ° J_ h . y\xi- x + 0,-, h) 



1=1 1 



n=ao n T Xì Xi^i 



Ma il secondo membro rappresenta la frequenza dell'insieme [£] nel 

 punto dell'infinito ; indicando tale frequenza con co , avremo dunque : 



io = lim ■ — — - — — . 



N hy , (x i - l + 0 i _ l h) 

 i 



D'altro canto si ha 



y h y'(x i+l + li) = y(x n ) — y{x 0 ) + d-(y'(x n+l ) — y'{x 0 )) 

 — A<#</ì; 



ricordando che 



lim 



y{x) 



lim 4^ = 0. 



(') Questa applicazione è lecita perchè ^.y'(x n ) è infinita di ordine finito; vediamo 

 ì 



infatti, che si comporta assintoticamente come y(x n ), ed essendo x n infinito del primo 

 ordine, y{x n ) ha, rispetto alla n , lo stesso ordine che y(x) ha per x = oo . 



