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abbiamo dunque: 



„=•» y n — y 0 



e ciò, per quanto si è detto al n. 6, e per le ipotesi poste sulla crescenza 

 della y , mostra appunto che la frequenza dell'insieme \jj — y (£)] nel punto 

 y = co è determinata ed eguale ad co . 



12. Volendo esaminare la possibilità di estendere il risultamento trovato 

 a funzioni y(x) , crescenti più rapidamente di qualunque potenza reale x a 

 di x , (come sarebbero x lrJX , e x , x x ■••); osservo anzitutto che, preso un nu- 

 mero positivo k arbitrario, la successione 



y» = y, + n A 



corrisponde ad una successione x n , determinata dalla relazione 



y n = y{ Xn ) , 



la quale cresce tanto più lentamente, quanto più rapida è la crescenza 

 della y(x). 



Essendo y n infinita del primo ordine, rispetto ad n, avremo la fre- 

 quenza dell' insieme = ?/(£)] , cercando il limite 



lim^^Ji), 

 *=» n — iji — yi-ì 



ma, per la (10), 



lim 1 f ^-'^) = lim ! f SU-i^^-i + fl,-. Jan) = 

 «=» n ér Vi — tji-i »=* n ^ y t — 



( ii) lim l - f i^yA = lim I f %i=Ll3) . 



Se questo limite esiste, si ha: 



lim l - f *i&L>*Ù = lim S(4^n) . 



71=00 % 1 ^Vl-fl Ti=~-ft SO'il tZ*0 



perchè siamo in uno dei casi in cui il teorema sui limiti, più volte citato è 

 valido ; precisamente in quello noto da lungo tempo, di variabili b n = x n — 

 — x^ positive infinitesime, e di variabili B n = x n — x 0 infinite, per n = oo . 



Se dunque l'insieme \j] = y{ì)~\ ha frequenza determinata nel punto 

 dell'infinito, l'insieme dato [£] ha la stessa frequenza; onde potremo dire, che 

 per effetto della trasformazione 



y — y(aò, 



Eendiconti. 1906, Voi. XV, 1° Sem. 88 



