mais ces intégrales ne sauraient étre, en general, rectilignes; et la détermination du 

 chemin de l'integration a pam offrir quelque clifficulté. Ori y parvient de la manière 

 suivante. 



Soient a, fi, y, § des nombres entiers, positifs ou négatifs, qui satisfont à l'èqua- 

 tion uà — fiy = 1 , et anx congruences «EoEl, mod. 4 ; fi = 7 = 0 , mod. 2; 

 soit aussi Q = X-<-£Y, T étant positif, et les quantités réelles X et Y étant as- 

 sujetties à vérifier les inégalités 



(3) — 1<X<1, — X<X 2 -+-Y 2 >X. 



On conclnt facilement de la théorie de la reduction des formes binaires à détermi- 

 nant négatif, qu'on peut toujours satisfaire, et cela d'une manière unique, à l'équation 



Les nombres oc, fi, y, §, et la quantité complexe Q, étant ainsi determinés, la théorie 

 des transformations linéaires donne aussitot 



K(co)= a K(0)^-i/5K' (£2), 

 Ì~K! (a>) = yK (Q)-^ i'SK' (Q) ; 



de plus l'on vérifie sans peine qne les équations (1) subsistent, tant que co satis 

 fait aux inégalités (3). En effet, tant qu'on a 



— 1 < £T < 1 , — X <C X 1 '-+- ]f- > X , 



les fonctions /c 2 et /e" 2 ne peuvent pas atteindre aucune des valeurs pour lesquelles 

 les intégrales rectilignes cessent d'étre complètement determinées. Et, quant aux cas 

 limites qui se présentent lorsqu'on a 



X—-1, on bien x % -+- y- = x , 



les conventions, que nous avons adoptées pour lever les ambiguités dans les défini- 

 tions des intégrales $ et W, ont été choisies de manière à fair e accorder dans ces 

 mèmes cas limites, les valeurs des intégrales $ et W avec celles des fonctions K et K'. 

 On a donc 



" K(Q) = $(V.(Q)), K'(12)=>F^ 8 (Q)). • 



ou bien, en observant que g- 8 (0) = <p 8 (co) = /c 2 , 



E (Q) : 0 (/v 2 ) , K' (Q) = ¥ (/c 2 ) ; 



d'où l'on tire finalement 



K(i)) = «$(F) + j|3 1 F(F) 1 

 iK' ( w ) = 7 $(r-)+f^F(/r). 



Ces équations rempl acent les équations (1), et font connaitre le chemin que l'inte- 

 gration doit suivre dans les équations (2). 



