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liaison, qui peut-ètre n'avait pas été rernarquée jusqu' ici, est à la verité purement 

 analytique; mais on parvient à la xnettre en évidence, en regardant d'une part les 

 équations modulaires comme défìnissant des courbes géométriques, et en se servant, 

 de l'autre part, d'une nouvelle représentation géométrique des formes quadratiques, 

 dont voici le principe. À chaque forme (a, b, c) du déterminant positif T) = b-—ac, 

 on fait correspondre un cercle a -+- 2bx-+- c{ot?-+- y*) = 0, trace dans un pian (xy) 

 dont toutefois on ne considère que la partie située au dessus de l'axe des x. On ap- 

 pelle espace réduit la partie de ce pian comprise entre les deux droites x—drzl, 

 mais extérieure aux cercles -+- ?/ 2 = r±: x ; et l'on regarde comme are réduit tout 

 are de cercle qui se fcrouve en decìans de l'espace réduite. Cela pose, la période des 

 formes réduites appartenantes à une classe donnée est représentée par les arcs ré- 

 duits correspondants, dont l'assemblage forme une ligne en apparence brisée, mais 

 qui peut .ètre envisagée comme continue. En suivant la notation usuelle des fonctions 



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elliptiques, qu'on pose a = x-*-iy = —, /c 2 = f (w) = f -+- X ìY, et qu'on tasse 



correspondre aux points x -+- iy de l'espace réduit les -points X -+- iY d'un nouveau 

 pian illimité (XI), par le moyen de l'équation |--t- X -+- iY = f (x -+- iy), dans la- 

 quelle on suppose réelles les quantités x, y, X, Y. Les lignes brisées correspondantes 

 aux différentes classes de formes quadratiques de déterminant D se trouveront re- 

 présentées dans le pian (XY) par autant de spirales fermées distinctes, dont l'en- 

 semble formerà une courbe géométrique complète. L'équatiou cartésienne de cette 

 ourbe sera simplement P (4--+- X -4- iY, X — iY) = 0, en désignant par F(/c 2 ,X 2 )=0 

 une des équations modulaires pour les transformations elliptiques de l'ordre D. On 

 tire de là ce résultat remarquable que si, sans penser aux formes quadratiques de 

 déterminant D, on trace la courbe modulai re, on aura sous les youx une image exacte 

 du système complet de ces formes; de sorte que, par un simple dénombrement des 

 spirales, et des différentes spires dont chaque spirale se compose, on pourra déter- 

 miner (1) le nombre des classes non équivalentes; (2) le développement en fraction 

 continue, propre à chaque classe, développement qui donne, comme on sait, le sy- 

 stème complet de formes réduites, représentantes de la classe. Le cas d'un détermi- 

 nant carré est compris (sauf quelques particularités) dans la théorie generale. 



Il est bon de remarquer que les notions arithmétiques de classe, à'équivalence, 

 et de forme réduite, doivent subir une légère modification pour .les adapter à la 

 théorie des fonctions modulaires. On donne dans le Mémoire toutes.les explications 

 nécessaires à cet égard. 



Au lieu des équations modulaires entre ti 1 et X 2 , on aurait pumntroduire les equa-- 



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tions plus simples de Jacobi entre VOc et X^l ; mais la théorie arithmétique en de- 

 viendrait un peu plus compliquée. 



Les mèmes principes penvent s'appliquer avantageusement à d'autres questions 

 de la théorie des fonctions elliptiques, parmi lesquelles on peut signaler le problème 

 posé par. Jacobi dans la note ajoutée à la page 75 des Fundamenta. L'auteur espère 

 de soumettre prochainement à l'Académie la solution qu'il pense avoir trouvé de ce 

 problème diffìcile. 



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