I Geometri tedeschi per i primi osservarono che il teorema non poteva dirsi rigo- 

 rosamente dimostrato, ed Hankel nel suo lavoro sulle funzioni oscillanti dette alcuni 

 esempi di funzioni che, sebbene finite e continue in un dato intervallo, nei punti 

 corrispondenti a valori razionali della variabile non avevano mai una derivata deter- 

 minata e finita, mentre invece l'avevano nei punti corrispondenti ai valori irrazionali 

 della variabile, o almeno non poteva asserirsi la non esistenza della derivata in 

 questi punti. 



I risultati trovati da Hankel (sebbene non sempre le sue dimostrazioni possano 

 dirsi scevre da obiezioni) erano dunque sufficienti per infirmare il teorema sull' esi- 

 stenza delle derivate in generale, quando il signor Du Bois- Reymond valendosi, come 

 egli dice, di alcune comunicazioni avute dalla gentilezza del signor Weierslrass, pub- 

 blicò nel Voi. 79 del Giornale di Creile una sua Memoria sulla classificazione delle 

 funzioni arbitrarie di argomenti reali, nella quale si trova dimostrato che la funzione 

 finita e continua rappresentata dalla serie 2a n cosb n xn, ove a è una costante positiva 

 minore dell'unità, e b è un numero dispari che insieme con a sodisfa alla diseguagiianza 



ab > 1 -4- ~ ti, 



non ha mai una derivata determinata e finita. 



Con ciò dunque resta pienamente dimostrata la insussistenza del teorema della 

 esistenza in generale delle derivate delle funzioni finite e continue, e d' ora innanzi, 

 prima di applicare a date funzioni il calcolo differenziale, oltre alla continuità con- 

 verrà ammettere esplicitamente anche 1' esistenza della derivata. 



TI seguente teorema dà nuove e infinite classi di funzioni che, per quanto finite 

 e continue e dotate di una espressione analitica che spesso è anche molto semplice, 

 non ammettono mai una derivata determinata e finita. Fra queste funzioni è com- 

 presa come caso particolare quella studiata dal signor Du Bois-Reymond. 



« Quando i termini u n {cc) di una serie Iu„(x), oltre essere finiti e continui 

 nell' intervallo (a, b) e ammettere una derivata finita finche u è finito, sono tali 

 che la somma della serie sia una funzione finita e continua di x nello stesso inter- 

 vallo, questa funzione non avrà mai una derivata determinata e finita, e tutt' al più 

 questa derivata potrà essere in alcuni punti infinita e determinata di segno, e in altri 

 (in numero infinito) essere infinita e indeterminata di segno, tutte le volte che si 

 verifichino le condizioni seguenti: 



1. ° Che i termini u n (x) nell'intervallo {a, b) ammettano dei massimi e minimi, 

 il numero dei quali, sebbene sempre finito, vada crescendo indefinitamente con «, e 

 in modo che a partire da un conveniente valore di n, questi massimi e minimi si 

 succedano sempre in tutto l' intervallo (a, b) a distanze minori di qualunque 

 quantità data. 



2. ° Che se § m è la massima distanza fra un massimo e un minimo successivi 

 di u m (w) nell'intervallo (a, b), e D m è la minima delle varie oscillazioni che u m {x) 



fa nell' intervallo, il rapporto =p abbia per limite zero per m = co. 



•L'in 

 m-1 



3. ° Che il prodotto 2 u' n , ove le u' n sono i massimi fra i valori assoluti 



