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Ótre établie entre les éléments de deuxplans.de manière qua chaque point de Tun 

 et a chaque droite qui passe par ce point, correspondent dans l'autre, respective- 

 ment, une droite et un point situé sur cette droite. 



3. On sait depuis longtemps (') que l'on peut en general établir une telle 

 correspondance de manière à satisfaire à huit conditions quelconques ; ce fait s'ex- 

 prime en disant qu'il y a toujours un nombre fini de corrélations 

 qui satisfont à huit conditions arbitraires et ind épendantes. 



4. D'après cela, on le concoit bien, il y aura un nombre simplement infini de 

 corrélations qui satisfont à sept conditions données. Mais il importe de reconnaìtre 

 que parrai ces corrélations on trouve en general un nombre fini de corréla- 

 tions d'un caractère très particulier. Pour les bien distinguer des singularités encore 

 plus élevées,dont il sera question plus tard, je les appelle corrélations exception- 

 nelles du premier ordre. Elles sont des deux espèces que voici: 



1. " Dans chacun des deux plans il peut y avoir un point singulier par 

 lequel passe la droite qui correspond à un point arbitraire de l'autre pian. A cette 

 meme droite correspond, en outre, chaque point qui est situé avec le premier sur 

 la droite qui passe par le point singulier de son pian. A ce point singulier lui-méme, 

 correspond une droite quelconque du premier pian; 



2. ° Dans chacun des deux plans il peut y avoir une droite singulier e sur 

 laquelle se trouve le point qui correspond à une droite arbitraire de l'autre pian. 

 Au meme point correspond chaque droite qui passe, avec la première, par un meme 

 point de la droite singulière de son pian. A cette droite singulière elle-meme corre- 

 spond un point quelconque du premier pian. 



5. Supposons maintenant que six conditions seulement soient données. Il y aura 

 évidemment un nombre doublement infini de corrélations ordinaires, parrai lesquelles 

 se trouvera non seulement un nombre simplement ' infini de corrélations exception- 

 nelles du premier ordre, mais aussi en général un nombre fini de corrélations 

 plus exceptionelles encore. On les appelle corrélations exceptionnelles du 

 se con d ordre. Elles sont d'une seule espèce, dont voici les propriétés caracten- 

 stiques: 



Dans chacun des deux plans se trouve non seulement un point singulier 

 mais aussi une droite singulière qui passe par ce point. Avec cette droite 

 singulière coincide la droite qui correspond à un point parfaitement arbitraire de 

 l'autre pian. Si ce point se trouve sur la droite singulière de son pian, en restant 

 arbitraire, sa droite correspondante passera par le point singulier du premier pian, 

 mais elle aura une direction tout à fait indéterminée. Enfin le point qui correspond a 

 une droite parfaitement arbitraire de l'uà des deux plans, coincide avec le point sin- 

 gulier de l'autre pian. 



6 Une question fondamentale dans la théorie de la corrélation de deux plans, 

 la seule avec laquelle je m'occupe dans cette Note, c'est de savoir combien il y a de 

 corrélations ordinaires ou exceptionnelles qui satisfont à des conditions elementaires 

 données. C'est ainsi qu'on distingue les conditions dans lesquelles les données ne 



(') Voir, entre autres la Gèomètrie supérìeure de M r . Cliasles, art. 594. 



