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sont que des points et des droites. De ces conditions il n'y a quo Ics trois espèces 

 suivantes qui soient essentiellement différentes: 



1. ° A un point donne d'un pian doit correspondre ime droite qui passe par 

 un point donné de l'autre. 



2. ° A une droite donnée du premier pian doit correspondre un point situé 

 sur une droite donnée du second. 



3. ° A un point donne d'un des deux plans doit correspondre une droite donnée 

 de l'autre. 



De ces trois conditions les deux premières sont si m p 1 e s, la troisième, au contraire, 

 est une condition doublé. Du reste toutes les trois sont réciproques, de sorte qu'on 

 pourrait exprimer les deux premières plus simplement en disant quedeux points 

 conjugés, ou que deux droites conjugées sont données. 



7. Or j'ai fait voir dans le Memoire déjà cité que les corrélations exception- 

 nelles du premier ordre qui satisfont à sept conditions éléraentaires quelconques, sont 

 liées aux corrélations ordinaires qui satisfont à ces mèmes conditions et à une hui- 

 tième, au moyen de deux équations numériques tout à fait analogues à celles que 

 Chasles à données dans son Mémoire sur les caractéristiques d'un système de coni- 

 ques qui satisfont à quatre conditions ('). Voici ces deux équations: 



2 = v X • 

 2 v = p. n 



dans lesquelles A et n désignent, respectivement, le nombre des corrélations à droi- 

 tes singulières et à points singuliers qui satisfont à sept conditions données quel- 

 conques (-) et oli [j. et v expriment, respectivement , combien il y a de corrélations 

 ordinaires qui satisfont à ces mèmes conditions et qui possèdent de plus un couple 

 de points conjugués et de droites conjugées données. 



8. Au moyen de ces équations, la détermination du nombre des corrélations or- 

 dinaires qui satisfont à huit conditions élémentaires se ramène dans tous les cas, 

 à l'exception de trois dont il sera question plus tard, à celle des norabres de corré- 

 lations exceptionuelles du premier ordre qui satisfont à sept conditions élémentaires. 

 Cette dernière détermination a óté faite direjtement et póur tous les cas dans mon 

 Mémoire, mais pour y arriver il était nécessaire d'avoir recours à des propriétés 

 projectives des cmiques et mème des courbes d'ordre supérieur. Je ferai voir dans 

 cette Note comment ces considérations, quelquefois un peu compliquées, peuvenfc ètre 

 evitées, quand il ne s'agit que de la détermination du nombre des corrélations, au moyen 

 de deux relations nouvelles qui permettent de raraener la détermination du nombre 

 des corrélations exceptionuelles de premier ordre satisfaisant a sept conditions à celle 

 du nombre des corrélations exceptionnelles du second ordre qui satisfont a six con- 

 ditions, — détermination qui ne présente aucune difficulté. 



(') Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences ; t. LVIII, 27 juin 1864. 

 ('-) Dans ces relations il n'est pas né:essaii'e que ces conditions soient e'lémentaires. 



