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9. Les re'ations dont il s'agit sont de la meme forme que les précédentes et 

 peuvent etre démontrées de la meme manière; elles s'expriment par les équations: 



2 n = ~n -+- 9 

 2 A == X hh 9 



où 9 désigne le nombre des corrélations exceptionnelles du second ordre qui satisfont 

 a six conditions quelconques; ir, n le nombre des corrélations à points singuliers qui 

 satisfont non seulement à ces six conditions mais encore à celle d'avoir un couple de 

 points conjugués, respectivement de droites conjuguées donneés; et X, X respective- 

 ment, les nombres des corrélations à droites singulières qui satisfont aux mèmes sept 

 conditions. 



10. Pour ponvoir enregistrer convenablement les résultats auxquels ces équa- 

 tions conduiront, je désignerai par le symbole (etfiylì), oli a, /3, 7, § sont des nom- 

 bres entiers, l'ensemble des 2 a -+- 2 /3 -+- 7 § conditions suivantes: 



1. ° a points donnés du premier pian correspondenfc cbacun à une droite donnée 

 du second; 



2. ° /3 droites données du premier pian correspoudent cbacune à un point donné 

 du second; 



3. ° 7 points donnés du premier pian ont cliacun un point conjugué donné 

 dans le second; 



4. ° 5 droites données dans le premier pian ont chacune une droite conjtiguée 

 donnée dans le second. 



Avec cette notation, 011 le voitbien, (oc 5) et (/S a, 7 5) représentent les mèmes 

 conditions. En effet, un sinopie cliangement des deux plans suffit pour transformer l'un 

 des deux symboles dans l'autre. D'autre part le simple principe de dualité fait voir 

 que le nombre des corrélations ordinaires, ou exceptionnelles du second ordre, est le 

 meme pour (a fi, 7 5) et (a /3, § 7). Quant aux corrélations exceptionnelles du premier 

 ordre, le meme principe de dualité montre que les valeurs de X, n pour les conditions 

 (a fi, 78), sont égales aux valeurs de -, X, respectivement, pour les conditions (« /3, 5 7). 



11. Un raisonnement bien simple, fondé sur les propriétés caraetéristiques d'une 

 còrrèi ation exceptionnelle de second ordre (voir n.° 5), conduit en cbaque cas à la 

 valeur de 9 qui s'y rapporto. Un seul exemple rendra sa nature evidente. Prenons 

 les conditions (2011). Soient P l5 Qi les deux points donnés du premier pian et p % , q 2 

 leurs droites correspondantes dans le second; Ai, A 2 les deux points conjugués et 61, ft 2 

 les deux droites conjuguées données. Zi, Z 2 étant les points singuliers associés dans 

 une corrélation exceptionnelle du second ordre satisfaisant aux six conditions, et cri, c 2 

 les droites singulières qui passent respectivement par ces points, on reconnait que ci 

 doit passer au moins par un des points Pi, Qi, vu que q t ne peat pas coincider à 

 la fois avec fi et q t . De meme Z.| doit nécessairement se trouver sur une, au moins, 

 des deux droites p^, g 2 . Du reste il est clair que ai passe par Ai cliaque fois 

 que 03 ne passe pas par A 2 et réciproquement ; de meme ou Zi se trouve sur b { 

 ou Z 2 se trouve sur b % . De cette manière on voit facilement que les sept disposi- 

 tions suivantes des points I x Z 2 et des droites <3\ sont les seules admissibles, et 



