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2. Una curva del sistema 2", nella trasformazione involutoria, è corrispondente 

 a se stessa. Ciò risalta da considerazioni analoghe a quelle fatte per una curva di 

 2'; ovvero dall' osservare che la curva I (appartenente al sistema 2") è parte della 

 jacobiana" J della rete R (n°l) in quanto forma con una retta variabile intorno ad 

 0 un fascio di curve della rete stessa; e perchè quella retta e ogni curva di questo 

 fascio debbono corrispondere a se stesse. 



Al sistema 2" possiamo quindi applicare il ragionamento fatto per 2': cioè possiamo 

 prendere una rete di curve passanti per n — 6 punti e quindi per i loro corrispon- 

 denti, e considerare la jacobiana di questa rete, che sarà formata di T, di n — 6 

 rette partenti da 0 e di una curva di ordine n — 3 avente in 0 un punto (n — $yvio 

 e passante pei punti C e pei 2 (n — 6) punti suddetti. Variando questi punti, si ha 

 quindi un sistema 2"' (lineare), oo' ì-6 , di curve di ordine n — 3, aventi in 0 

 un punto (n — 5) ,i p'° e contenenti i punti di contatto delle tangenti condotte 

 da 0 a r. 



3. Applicando al sistema 2"' il medesimo ragionamento, e così continuando, si 

 giunge al seguente teorema (di cui i precedenti sono casi particolari): 



Data una curva T d'ordine n (_> 2s) con un punto (n — 2) ltp '° 0, esiste un 

 sistema 2( ÌS K (lineare), co n ~ 2s , di curve d' ordine n — s, aventi in 0 un punto 

 (n — 5 — 2) up '° e passanti pei punti di contatto delle tangenti a T partenti da 0. 



Si osservi che, pel sistema 2( 2s ), delle condizioni espresse dai punti fìssi comuni 

 alle curve del sistema, 



in — s — 2) (n — s — 1) n . , . (n — s) (n — s -+- 3) _ , 



■> — — J -~ ' -+- 2 (n — 1) — '-^ -+- n — 2s — s — 1 



sono conseguenza delle rimanenti, cioè fra quei punti fìssi esistono s — 1 vincoli. 



4. Per n — 2s si hanno le seguenti proprietà (n = 4, 6,...): 



Esiste una conica che passa pei punti di contatto delle sei tangenti che escono 

 da un punto doppio di una curva di 4.° ordine. 



Esiste una curva di 3.° ordine che passa pel punto quadruplo di una curva 

 di 6.° ordine e pei dieci punti di contatto delle tangenti tirate dal punto 

 quadruplo; ecc. 



Per n = 2s -<- 1 si ottengono queste altre proprietà (n — 5, 7 ... ): 



Esiste un fascio di curve del 3." ordine aventi i puntibase nel punto triplo 

 di una curva di 5.° ordine e negli otto punti di contatto delle tangenti tirate 

 da esso. 



Esiste un fascio di curve del 4.° ordine aventi un punto doppio nel punto 

 quintuplo di una curva di 7.° ordine e passanti pei 12 punti di contatto delle 

 tangenti che escono dal punto quintuplo; ecc. 



5. La dimostrazione e il teorema non reggono per le cosidette curve omologi- 

 co-armoniche, per le quali, nel punto (n — 2)'""° 0, gli n — 2 rami della curva sono 

 inflessi e però dal punto 0 partono altre n tangenti di cui i punti di contatto sono 

 in una retta R. Perchè allora la trasformazione involutoria ha n — 2 punti semplici 

 fondamentali infinitamente vicini ad 0, e ciascuna curva del sistema 2' (n° 1) cade 

 nella curva formata dalla R e dalle n — 2 tangenti nel punto (n — 2)" p '°. 



Però la proprietà precedente (n° 3) si traduce in una proprietà delle curve 



