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omologico- armoniche applicando la trasformazione nota (') di Jonquières, per la quale 

 una curva generale dell'ordine n con un punto (n — 2) up!o si trasforma in una 

 curva omologico- armonica. Ciò facendo si giunge facilmente al seguente teorema: 



Data una curva T omologico -armonica di ordine n{> 2s) con un punto 

 ( n — 2)" p '° 0, esiste un sistema {lineare), oo n ~ 2s , di curve di ordine 2n — s — 2 

 aventi in 0 un punto {2n — s — A) apl °, di cui n — 2 tangenti (fisse) coincidono 

 con quelle di F; passanti per gli n punti di contatto delle tangenti tirate da 0 

 a T e infine aventi n — 2 punti doppi in n — 2 punti (fissi) presi arbitraria- 

 mente sopra r. 



6. Si noti ancora che il teorema del n° 3 sussiste se dei punti Ci, C % , ... (k( n _ ij 

 alcuni o tutti si accostano a due a due indefinitamente; cioè se V acquista punti 

 doppi. Allora nell'enunciato del teorema (n° 3) occorre aggiungere ( 2 ) che le curve 

 del sistema 2W passano pei punti doppi, in ciascuno di questi avendo la stessa 

 tangente, che è la coniugata armonica della retta che congiunge il punto doppio 

 con 0, rispetto alle due tangenti nel punto doppio ( 3 ). 



In questa ipotesi, facendo la trasformazione detta nel n° 5, si ottiene per le 

 curve omologico-armoniche un teorema più generale di quello ivi enunciato, cioè: 



Data una curva omologico- armonica T di ordine p -+- 2 con un punto p up, °, 

 esiste un sistema {lineare), di curve di ordine 2p h- 2d — s -+- 2 aventi 



nel punto 0 un punto {2p + 2d — s) up '° di cui p -+- d tangenti sono fìsse, p coin- 

 cidendo in quelle di T e d essendo prese arbitrariamente; passanti per d punti, 

 situati su queste ultime tangenti, coniugati armonici di 0 rispetto ai punti d'in- 

 tersezione con V e inoltre per i p -+- 2 punti di contatto delle tangenti tirate da 



0 a T, e aventi infine p -+- d punti doppi (fissi) in p -+- d punti arbitrari di T. 



7. È noto che ogni curva iperellittica si può trasformare in una curva d'ordine 

 n con un punto [n — ' 2)^ l ° per trasformazioni univoche fra le due curve (non fra 



1 due piani) (*). Qui si presenta quindi una questione che sarebbe interessante ri- 

 solvere: cioè di ricercare in quale proprietà delle curve iperellittiche si trasforma 

 quella dimostrata (n° 3, 6). 



C) Cremona, Sulla trasformazione delle curve ìperellitliche — Eendiconti del K. Ist.° Lomb. 0 



Serie II, voi. II. 



( 2 ) Cfr. la mia Nota citata, n.° 2. 



( 3 ) Per es.°: — Data una curva di quarto ordine con Ire punii doppi d 1 d 2 d 3 , esiste una co- 

 nica che passa per i due punii dì contatto c x c 2 della due tangenti tirale da uno di essi, per es.° d t , 

 e per gli altri due punti doppi d v d 3 e qui ha per tangenti le coniugale a d i d v d 3 d 1 rispetto alle 

 tangenti negli stessi punii doppi. — La quale proprietà nasce anche, trasformando quadraticamente 

 col porre il triangolo fondamentale in 8,8 e 8 s (ovvero ^ S t S' 3 ,....\, da quest'altra: — Data una co- 

 nica r e condotte ad essa da un punto arbitrario S 1 le due tangenti di cui 7l y 2 sieno i punti di 

 contatto, ciascuna conica L la quale passa per j\ y 2 e per due punii S 2 , 5' 2 coniugali rispetto ^ a V e 

 allineali con S v taglia ogni altra retta per 5, pure in due punti coniugati S 3 , 5' 3 — che discende 

 dall'osservare che, nell'inversione quadrica, in cui Y è punteggiata unita e ^ è il polo, L corrisponde 

 a sè stessa (segando la sua corrispondente in y v y 2 , ?„ 5' 2 e in due altri punti sopra r) ; ovvero 

 da una propri 3 tà notissima delle coniche che ne è un caso particolare (Cfr. Cremona, Elementi di 

 Geometria projetliva - § 205). 



('■) Cfr Cremona 1. c. e Lindemann, Vorles.uber Geom. von Alfred Clebsch - T. I, pag. 711-12. 



