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funzioni finite e continuo di variabili reali, del quale si comunicano oggi all'Acca- 

 demia i risultati principali. 



L'autore osserva dapprima che la esistenza di infiniti tratti d'invariabilità o di infi- 

 niti massimi e minimi in una funzione in qualsiasi porzióne di un intervallo finito, porta 

 necessariamente infinite discontinuità nella derivata prima quaudo questa esiste, talché 

 a queste funzioni non può mai applicarsi il calcolo differenziale almeno quando oltre 

 alla prima si vogliono considerare le derivate di ordine superiore. Eiscontraudo poi 

 che esiste una classe estesissima di funzioni continue in un dato intervallo che seb • 

 bene presentino dei tratti d' invariabilità o dei massimi e minimi (in numero finito 

 o infinito) li vengono a perdere tutti e divengono sempre crescenti o sempre decre- 

 scenti coll'aggiunger loro funzioni che in ogni punto hanno una derivata determinata 

 e finita (per le quali può anche prendersi sempre una funzione di primo grado), e 

 ciò senza che restino alterate le condizioni di esistenza delle derivate, giunge l'autore 

 a concludere che la mancanza o le singolarità della derivata in alcune funzioni 

 continue non possono soltanto attribuirsi alla presenza di tratti d'invariabilità o di 

 oscillazioni in numero infinito nelle funzioni stesse. 



Osserva allora l'autore che, siccome la mancanza di derivata a destra o a si- 

 nistra di un punto x per una funzione f (x) proviene dalla circostanza che il rap- 



f (x -r- II) f (x) 



porto — — — coll'avvicinarsi indefinitamente di h a zero per valori sol- 

 Zi 



tanto positivi o per valori soltanto negativi non tende verso alcun limite determinato 

 e finito o ha per limite l' infinito, per fare degli studi generali sulle funzioni con- 

 tinue invece di considerare soltanto il limite di quel rapporto nei casi in cui esso 

 esiste, conviene esaminare i valori che il rapporto stesso può prendere quando li 

 tende a zero. 



Preso perciò a studiare questo rapporto, l'autore dimostra che esistono sempre 

 due numeri determinati finiti o infiniti l e L fra i quali sono compresi i valori tutti 

 f (x -,- ìi) f (x) 



del rapporto — — - quando h ha un valore qualunque diverso da zero 



positivo o negativo, per modo però che i punti x e x -+-7i siano ambedue nell'in- 

 tervallo (a, b) che si considera, e questi numeri l e L quando sono finiti godono 

 della proprietà che esistono sempre dei valori di x e dei valori positivi e dei valori 



negativi di h pei quali il rapporto f ( x -+~ h ) ~~ f v g) prende valori vicini alea/, 



quanto si vuole ; e si ha una proprietà analoga quando uno o tutti e due questi 

 numeri / e L sono infiniti. 



Fondandosi allora su questa puoprietà, l'autore dimostra che in ogni porzione 

 comunque piccola (a', b') dell' intervallo dato, quando i numeri l e L corrispondenti 

 a questa porzione hanno valori finiti, esistono sempre infiniti punti x pei quali il 



rapporto ^ ^ ~*~ ^ ~ ^ ^ col tendere di h a zero per valori positivi finisce per 



- h 



mantenersi sempre compreso fra limiti discosti fra loro e da i o da L tanto poco 



r i x _+. / t ) f (#) 



quanto si vuole, e lo stesso accade in infiniti punti pel rapporto — v ■ 



Transunti — Vol. L° 18 



