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quando h tende a zero per valori negativi, e una proprietà analoga si ha pel caso 

 di l o L infiniti ; talché mentre in ogni intervallo può essere benissimo che non 

 \i sia mai una derivata determinata, esistono però in esso infiniti punti pei quali 

 ci si avvicina sempre in certo modo al caso della esistenza della derivata sì a destra 

 che a sinistra, senza però poter dire che questa derivata debba sempre in alcuni punti 

 n ecessar iam ente esistere. 



Seguitando le sue considerazióni, l'autore passa a far vedere che per ogni punto spe- 



f ( x h) / (x) 



ciale x fra a e b (b escluso se &> a) il rapporto — '-r — quando h si avvi- 

 cina ognor più a zero per valori positivi o finisce per tendere verso un limite de- 

 terminato finito o infinito (derivata a destra di x) o finisce per oscillare fra due 

 numeri \ x — z e A* s, essendo e una quantità positiva che può supporsi piccola a 

 piacere, e l x e A x (k x < A x ) essendo numeri determinati finiti o infiniti cui (quando 



f l x -+- h) f (x) 



sono finiti) sono sempre vicini quanto si vuole i valori di — per in- 



finiti valori di h arbitrariamente piccoli. L' intervallo A* — \ x da X* a A x viene così 

 ad essere il campo nel quale finiscono per oscillare continuamente i valori del rap- 

 porto f ^ x r~. h \ ~~ col tendere di h a zero per valori positivi, e l'autore lo 



chiama perciò oscillazione di quel rapporto. Due quantità analoghe X' x e A' x si hanno 

 per h negativo, talché quando la derivata ordinaria non ha verun significato ne a 

 destra ne a sinistra dei punti di un intervallo, invece dei valori di questa derivata 

 vengono in considerazione le quattro funzioni l x , A x , X'^, A' x . 



Queste quattro funzioni si riducono naturalmente a una sola nel caso della esi- 

 stenza della derivata ordinaria. 



Queste funzioni l x , A x , l' x , A! x considerate per tutti i valori di x fra a e b 

 (b esci, per X^ e A x , e a esci, per )' x e A' x ) hanno tutti gli stessi limiti inferiori 

 e gli stessi limiti superiori che sono appunto i numeri l e L indicati sopra; e nei 

 punti nei quali l x e A x p. es. sono finiti, per h positivo e sufficientemente piccolo 

 si può sempre scrivere : 



f(x-*-h)—f((jG) l x + Ax ' \A X —\ X r \ 



1 — — r .^".2 ^ Kh 1 2 Cx ' h \ ' 



essendo z x , h una quantità positiva o nulla che coli' impiccolire di h può rendersi 

 sempre minore di qualsiasi quantità data , e 9 x , h essendo una quantità che varia 

 continuamente fra — 1 e 1 ; talché, quando non è l x — A., (cioè quando non esiste 



fix-*-h)—f(x) . - 



la derivata di f (x) a destra) resta così decomposto il rapporto — ~ ra 



una parte determinata Ax e in una parte continuamente oscillante fra 



Aj—O^ g e A-x — K ^ _ s ^ essenc io £ una quantità positiva piccola a piacere. 



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La considerazione dunque della quantità ^^A r potrebbe forse, come l'autore 



