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osserva, sostituirsi utilmente a quella della ordinaria derivata a destra di x, anche 

 nei casi in cui questa derivata non esiste. 



Riportandosi poi al teorema ricordato sopra, l'autore fa notare che quando l x e 

 sono sempre finite (o almeno nelle por/.ioni dell'intervallo ciato nelle quali questo 

 accade) le oscillazioni A x — \ v a destra debbono continuamente prendere anche 

 valori prossimi quanti si vuole a zero, per lo che se queste oscillazioni costituiscono 

 una funzione sempre continua di so, esse sono sempre zero, e la funzione data f (x) 

 a destra di ogni punto oc ammette sempre una derivata finita e determinata. E se 

 una funzione ammette le derivate sì a destra che a sinistra di ogni punto di un 

 intervallo, e queste derivate sono finite e continue esse saranno sempre eguali, e 

 esisterà perciò allora la derivata intesa nel senso ordinario. 



Facendo poi vedere che se una funzione a destra o a sinistra di un punto x 

 non ha una derivata determinata (finita o infinita), essa in vicinanza di quel punto 

 avrà infiniti massimi e minimi o verrà ad acquistarli aggiungendole o togliendole 

 convenienti funzioni di primo grado A* + B (A e B cost,), l'autore ne conclude che 

 le funzioni f (x) che in un dato intervallo sono sempre crescenti o sempre decrescenti, 

 e si mantengono tali o non vengono ad acquistare che un numero finito di massimi 

 e minimi nello stesso intervallo quando si aggiunge o si toglie loro qualsiasi funzione 

 di primo grado, devono necessariamente avere sempre una derivata determinata 

 (finita però o infinita) sì a destra che a sinistra di ogni punto di quell' intervallo; 

 e in qualsiasi porzione dell'intervallo stesso devono esistere altri intervalli finiti 

 nei quali le derivate sì a destra che a sinistra oltre essere determinate sono anche 

 finite. Queste derivate però se non sono sempre continue potranno essere differenti 

 dalle due parti di alcuni punti in qualsiasi intervallo, sebbene in ogni porzione del- 

 l'intervallo stesso debbano esistere infiniti punti nei quali le derivate a destra e a 

 sinistra oltre essere determinate e finite sono eguali fra loro, per modo che in essi 

 esiste sempre ed è determinata e finita anche la derivata intesa nel senso ordinario». 



Il Socio Cremona presenta una Memoria del prof. Enrico D'Ovidio, avente per 

 titolo: Le funzioni metriche fondamentali negli spazi di quante si vogliano dimen- 

 sioni, e di curvatura costante, e dà lettura del seguente sunto inviato dall'Autore. 



« In alcuni miei precedenti lavori sulla Geometria metrico-projettiva (') si trova in 

 sostanza esposta la teoria delle funzioni metriche negli spazi di tre e cinque dimensioni e 

 di curvatura costante, e in alcuni spazi di quattro, otto e nove dimensioni originati da 

 quelli di tre e cinque dimensioni. Ma la teoria è in quei lavori applicata esclusivamente 

 a de' casi nei quali essa è capace di ricevere una rappresentazione geometrica mediante 

 l'ordinario spazio di tre dimensioni e i complessi Pluckeriani. Ora nella presente Memoria 

 io mi" propongo di estendere i risultati ottenuti negli accennati casi particolari, in modo 



(') Cfr. Studio sulla Geometria proiettiva (Annali di Matematica, serie II t. VI). — / complessi 

 e le congruenze lineari in Geometria proiettiva (ibid. t. VII). - Alcune proprietà metriche de complessi 

 ecc. (Atti della Reale Accademia dei Lincei, sevie II t. III). - Le reti di complessi lineari nella Geo- 

 metria melrico-projelliva (ibid.). — Lesene triple e quadruple di complessi ecc. (ibid.) .— Le prujezmnt 

 ortogonali nella Geometria melrico-projelliva (Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino, Voi. IX). - 

 Alcuni luoghi e inviluppi ecc. (Rendiconto dell'Accademia dille Scienze di Napoli. I-.875), 



