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da formare una teorìa delle l'unzioni metriche in uno spazio di quante si vogliano 

 dimensioni e di curvatura costante. Una simile teoria non mi sembra sia stata data 

 sino ad oggi ('), e d'altra parte essa costituisce il fondamento più naturale di ogni 

 ulteriore ricerca intorno a un argomento così importante com'è quello degli spazi 

 di più dimensioni. 



Oso sperare che questi miei sludi saranno benignamente accolti da' geometri; 

 tanto più che io ho cercato di mettermi alla portata anche di chi sia nuovo all'ar- 

 gomento, senza tuttavia molto insistere sui particolari, e senza entrare nella parte 

 storica che mi avrebbe menato troppo lontano. 



Accenno in brevi tratti il contenuto de' singoli paragrafi : 



Ne' §§ I a V sono date le definizioni di uno spazio o varietà di un numero 

 qualunque di dimensioni, e dei punti e multipunti, piani e multipiani ad esso subor- 

 dinati, cioè delle forme fondamentali in uno spazio di più dimensioni. Indi sono esa- 

 minati i casi in cui due multipunti hanno punti comuni ovvero appartengono a uno 

 stesso multipunto , e sono trattate delle quistioni relative alla intersezione de' mul- 

 tipunti. E altresì determinato 1' ordine d'infinità del numero di punti, bipunti, ecc. 

 contenuti nel proposto spazio; come pure di quei punti, bipunti, ecc. che son con- 

 tenuti in un dato multipunto o passano per esso. Le stesse considerazioni sono applicate 

 con legge di dualità a' multipiani. 



Nel § VI son definite le coordinate omogenee de' multipunti, de' multipiani e 

 de' piani; e nel § VII sono esposte le relazioni (quadratiche e omogeuee), che passano 

 fra le coordinate di uno stesso multipunto o multipiano. Nel medesimo § VII si 

 trovano le relazioni che devono passare fra le coordinate di due multipunti o multi- 

 piani, perchè essi abbiano un punto o muliipunto, ovvero un piano o multipiano, comune. 



Nel § VIII apparisce per la prima volta quella forma quadratica che servirà a 

 definire la distanza fra due punti, e che per brevità chiamiamo coli' illustre Cayley 

 1' assoluto de' punti. Ivi è altresì considerata la sua forma reciproca, non che due 

 sistemi di forme quadratiche reciproche ciascuna a ciascuna, le quali adempiono un 

 rilevante ufficio nelle relazioni metriche fra multipunti e multipiani. Nel § IX poi, 

 oltre a molte relazioni fra tali forme, è introdotta la nozione di multipunti coniugati 

 fra loro rispetto all'assoluto. 



Il § X tratta di quella funzione delle coordinate di due punti e de' coefficienti 

 dell'assoluto, che riceve il nome di distanza fra due punti. Ivi è pure definita la mutua 

 ortogonalità possibile fra due punti. 



Nel § XI è fatto cenno dell' ortogonalità semplice, doppia,.... perfetta fra due 

 multipunti ; ed è mostrato quanti gruppi di due o più punti mutuamente ortogonali 

 esistano in un dato multipunto, e quanti gruppi di n punti siffatti esistano nel pro- 

 posto spazio di n — 1 dimensioni. 



(') La pregevole Memoria del sig. C. Jordan: Essai sur la Geometrie à n dimensious (Bulletin 

 de la Société math. de France, t. Ili 1875) non si riferisce a uno spazio qualunque, ma solo a quello 

 che poti ebbe dirsi euclideo. Oltreacciò essa differisce essenzialmente dal presente scritto anche nel 

 metodo di ricerca, avendo io posto a base della determinazione delle funzioni metriche, cosi in questa 

 come nelle precedenti pubblicazioni, i concetti della dualità e della proj etti vita, de' quali non si 

 riscontra alcuna traccia nella Memoria del sig. Jordan. 



