Ne' §§ XII e XIII si defluisce la perpendicolarità semplice, doppia,... di due 

 multi punti, e si determina accuratamente il numero e le proprietà delle rette (bipunti) 

 perpendicolari simultaneamente a due dati multipunti. Nel seguente § XIV si tratta 

 della projezione di un pulito o multipunto sopra un multipunto. 



Nel § XV è stabilita la nozione importante delle varie distanze fra due mul- 

 tipunti. I §§ XVI e XVII contengono la ricerca delle espressioni del momento e 

 del comomento di due multipunti, i quali non sono altro che il prodotto de' seni e 

 il prodotto de' coseni delle varie distanze fra due multipunti. I seguenti §§ XVIII 

 e XIX forniscono le espressioni di altre funzioni delle dette distanze, funzioni che 

 posson chiamarsi momenti e comomenti de' diversi ordini (il momento e il comomento 

 propriamente detti sono quelli dell'ordine più alto). Dopo questo è facile formare le 

 equazioni che hanno per radici i seni o i coseni delle varie distanze fra due multipunti. 



Lo studio de' momenti e comomenti è poi ripreso nel § XXII, dove essi sono 

 espressi mediante le coordinate de' due multipunti, mentre prima erano espressi solo 

 mediante le coordinate de' punti che individuano i multipunti medesimi. 



Nei § XX, XXI e XXIII è posta maggiormente in luce la perfetta dualità che 

 sussiste fra le proprietà de' punii e de' piani, de' multipunti e de' multipiani. Ivi è 

 spiegata la nozione di angolo fra due piani e quella de' vari angoli fra due multi- 

 piani; ed è mostrato come questi angoli non differiscano dalle distanze prima consi- 

 derate. Oltreacciò sono definiti e studiati partitamente l'assoluto de' piani e gli assoluti 

 delle varie classi di multipunti e di multipiani. 



Nel § XXIV è definita l'ampiezza di un gruppo di punti o di piani (in esten- 

 sione de' comuni concetti di area, volume ecc.) ; e vi sono raccolti non pochi teoremi 

 relativi alle ampiezze, i quali costituiscono la generalizzazione delle più note e im- 

 portanti proposizioni della comune trigonometria piana e sferica e della comune 

 tetraedrometria. Col sussidio di questi teoremi si rende possibile di usare talvolta, 

 dello studio degli spazi di molte dimensioni, un processo di deduzione che fa riscon- 

 tro a quello che governa il cosiddetto metodo sintetico della Geometria ordinaria. 

 Nello stesso § trova luogo la relazione fra l'ampiezza di un dato gruppo di punti e 

 quella della sua projezione sopra un altro dato multipunto. 



Nel § XXV è accennata una interpretazione metrica _delle coordinate di punti 

 e piani, multipunti e multipiani ; il che conduce a nuove forme delle espressioni de' mo- 

 menti e comomenti e ad una relazione quadratica ma non omogenea fra le coordi- 

 nate di un multipunto. Sono poi date le formole per la trasformazione delle coordi- 

 nate; ed è fatta menzione del caso che, invece di un dato gruppo di punti, si assuma 

 come fondamentale quello individuato da' piani rispettivamente coniugati a' detti punti. 

 È notevole il caso che il secondo gruppo coincida col primitivo. 



Nel § XXVI sono definiti i parallelismi dei diversi ordini, possibili fra due mul- 

 tipunti; ed è mostrato quali e quante delle distanze fra due multipunti svaniscano 

 in tal caso, e come si determinino le distanze che rimangono. Accanto a' multipunti 

 paralleli sono poi considerati quelli ai quali non disdice la denominazione di antipa- 

 ralleli. Le medesime cose sono applicate con piena dualità ai multipiani. 



Nei §§ XXVII e XXVIII è discusso il caso in cui il discriminante dell'asso- 

 luto de' punti sia supposto nullo ; caso notevolissimo, poiché concorda, mutati i nomi, 



