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a — a 



• a - 



(5) 



n ìi—ì 



b = b + b - 



o 



a.* 

 o 



b . 



A 

 B 



i 



A 



i 



B 



!_1 



A • 



(-1 

 B 



£-2 



A- 



i-% 

 B - 



o 



A 



o 

 B 



i i-i 

 P {du, dv) — F (dw, rfy) -ì- F {du, dv) 



, . -t- F (clw, du) , 



si riconosce facilmente che hanno luogo le seguenti proprietà. 



1. La forma differenziale binaria F {du, dv) e le sue derivate rispetto a du, dv, 

 sino a quelle dell'ordine m — 1 inclusivamente, diventano zero identicamente, se 

 a du , dv si sostituiscano u , v. 



2. Per la stessa sostituzione si annullano pure identicamente la forma differen- 



ti 



ziale binaria F {du, dv) e le sue derivate degli ordini 1, 2, . .,m — 2. 



i-i 



3. Similmente si annullano F e le sue derivate degli ordini 1,2,.., /n — 3. 



I— m-frl 



« E così di seguito sino alla F , che pure si annulla. 



« Sarebbe bastato di enunciare queste proprietà per le derivate (m — l)esime 



i z-i 

 di F, (m — 2)esime di F, ecc.; giacche per l'omogeneità le altre ne sono note 



conseguenze. l 



« Per riconoscere quelle della F, basta riflettere che questa porzione di F si ot- 

 tiene pigliando nel determinante (3), come elementi, non le a, b, c, . . . ma soltanto 

 i rispettivi loro gruppi dell'ordine n; così che si ha 



n n n 

 a b C 



(6) 



F = 



n n n 



0 a ■ b e 



n n n 



da db de . . 



n 71 n 



0 da db de 



Ora, siccome per la sostituzione di u e v a du e dv risultano 



n n 



da = na , db = nb , dc = nc, , 



così in questo determinante le m righe inferiori, cioè quelle contenenti i differen- 

 ziali, riusciranno identiche alle rn superiori moltiplicate per n. 



i 



« La derivata di F rapporto a du si può esprimere colla somma degli m deter- 

 minanti che si ottengono dal (6) ponendovi ogni volta in una delle m righe inferiori 



ii 



à a , n 



le derivate dei rispettivi elementi rapporto a du , cioè — invece di da, etc. E però, 



