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sostituendo in questi determinanti u, v a du, dv, vi saranno ancora m — 11 righe 



inferiori che diverranno eguali alle corrispondenti righe superiori moltiplicate per n. 



i 



«Altrettanto vale per la derivata di F rispetto a dv. E poiché nei determinanti 

 per le cui somme riescono espresse le derivate seconde, terze, . . . ,(m — l)esime di 



F rimangono rispettivamente ancora m — 2, m — 3, . . . , 2 , 1 righe inferiori formate 



n n 



coi differenziali, così anche tutte queste espressioni si annulleranno ponendo na, nb, . . 



n n 



invece di da, db, — 



« Consideriamo F . Questa può esprimersi colla somma dei 2m determinanti che 



n n 



provengono dal (6) surrogandovi di volta in volta in una linea gli elementi a,b,... 



0 da, db,.. . con i nuovi a , b , . . . o da, db, E però m ciascuno di questi 



determinanti resteranno ancora m — 1 righe inferiori che diverranno identiche alle 

 superiori per la sostituzione di u, v a du, dv. E le derivazioni, finche in numero 

 minore di m — 1, lascieranno pur sempre qualche riga inferiore che, per la detta 

 sostituzione, diverrà identica alla corrispondente superiore. 



1—2 l—m-hl 



« Le stesse considerazioni valgono per F F • 



§ 2. 



« Ora vogliamo ricercare se le proprietà sopra enunciate continuino a sussistere 

 anche quando l'equazione differenziale si riduca a grado minore del (4) teste conside- 

 rato rispetto alle variabili. Una tale riduzione non può avvenire che per effetto della 

 soppressione di un fattore razionale intero 6 (u, v) comune a tutte le funzioni A, B, 

 0,..., o, come caso relativamente assai più particolare, perchè riescano nulli tutti 



1 singoli coefficienti dei termini dei gradi più alti nelle dette funzioni. 



« Esaminiamo in prima il caso più generale. Sia 



(7) <p {du, dv) = adu m -+- fìdu m ~ x dv h- -ydu'"- % dv % -*-...= 0 

 l'equazione differenziale ridotta. Avremo 



(8) A = e.«, B = e./3, c = e .y. 



E significando con r il grado di Q e ponendo 1 = 1 — r, potremo scrivere queste 

 relazioni come segue: 



l t_l 0 V* t-1 o x >-i o 



a. + a + . . + a ='(fl.H--e-H . . ■+• ey + + 



donde 



l 



T A 







>_1 T_l X 



(-2 



k — 



Ba 



A = 



e 





A = . 



l 



T \ 



(_i 





>-l r_l \ 



( - 2 



B = 





B = 



0 





B = . 



ì 



-T X 



(-1 







j-2 



C == 



9y 



C = 



9 





C =. 



