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Ora, moltiplicando le relazioni della prima linea per du m , quelle della seconda per 

 du m ~ x dv, ecc. e sommando, si otterranno dalle colonne prima, seconda, ecc. rispet- 

 tivamente le 



li T \ 



\ F (du, dv) = 9 (p (du, dv) , 



(10) T A_l T_l \ 



1 F (<iw, cZu) = 9 (p (du, dv) -+- 9 o (du, dv) , 



T T_l 



E però, siccome i fattori 9 , 9 , . . . restano invariati sia derivando rispetto a du, dv, 

 sia sostituendo a questi differenziali le variabili u, v ; così è manifesto che le pro- 

 prietà enunciate per 



F , F , ,F 



si trasmettono rispettivamente a 



\ /_1 A_m-i-l 

 <?,<?, ,<?• 



« Eesta da esaminare il caso più particolare. Ma dapprima cercheremo quali con- 

 dizioni devano verificarsi per le funzioni a, b, c, della primitiva, affinchè un 



tale caso possa presentarsi; ricerca che d'altronde è fondamento di altre indagini 

 importanti. 



§ 3. 



Affinchè il grado dell'equazione differenziale (3) scenda da l ad l — 1, nel modo 

 ora nominato, bisogna che riescano nulli identicamente i gruppi 



i i i 

 A, B, C, . . . , 



i 



che sono i coefficienti della forma differenziale binaria F (du, dv). Ma le proprietà 

 già dimostrate delle derivate (m — l)esime di questa forma, cioè le relazioni 



ii ii 

 A.u Bv = 0 , Bu -+- Cu = 0 , 



mostrano che tutti questi gruppi sono nulli necessariamente se sia nullo uno fra essi. 



I n n n 



Il gruppo A sarebbe espresso dal determinante (6) surrogandovi i differenziali di a, b, c... 



i 



colle derivate rispetto ad u. E però la condizione dell'annullamento di F si avrebbe 

 eguagliando a zero questo determinante dopo tale sostituzione. Ma per l' omo- 



n n n 



geneità di a, b, c, . . . ciò vale lo stesso che eguagliare a zero il determinante (6) 

 come sta scritto. 



n n n 



« Per ottenere la condizione finita tra a, b, c, . . . bisogna dunque integrare la 

 equazione differenziale 



