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nazioni di una funzione qualunque /' dovute agli incrementi ds e ós si ha, 

 come è noto, l'identità 



Se poi si pone 



Xrs f=3 Dcp fa), 



se cioè con % rs si rappresentano gli elementi del sistema doppio covariante 

 derivato dal sistema semplice Xr secondo la forma fondamentale si hanno 

 le identità 



3 ) = # (y& + (y)7*)- 



« 2. La condizione di isotermia dei due sistemi Xr e x r sopra conside- 

 rati può ridursi, come è noto, alla forma 



dy | ó ^ _ Q 



Verificata questa condizione, il sistema semplice 



v r = /Xr — 0) 



risulta delle derivate di una funzione v rispetto alle Xr- Del pari i sistemi 

 semplici 



K = f > i Qr = <? v Xr 



risultano delle derivate di due funzioni l e q, che sono precisamente i pa- 

 rametri isometrici delle linee Xr e ~% r . Il sistema Xr può esprimersi algebri- 

 camente pel sistema Xr e quindi si conclude che 



« Noto il sistema coordinato d'un sistema di linee isoterme, se ne può 

 « ottenere il parametro isometrico con semplici quadrature » . 



« 3. Se esiste un sistema di variabili u e v capace di ridurre la espres- 

 sione di (p alla forma 



(TJ + V) (da 2 + dv 2 ) , 

 U e V essendo funzioni rispettivamente di u e di v soltanto, dirò che il 

 sistema di coordinate (uv) sulle superficie, il cui elemento lineare è espresso 

 da ytp, è un sistema isotermo di Liouville. 



« Perchè due sistemi ortogonali di linee y r e % r tracciati sopra una 

 « superficie costituiscano un sistema isotermo di Liouville, è necessario e 

 « sufficiente che siano soddisfatte le condizioni 



£ + 8,(,) = o, o-. 



La condizione di isotermia sopra riferita è evidentemente conseguenza di 

 queste. 



« 4. Mi sono proposto il seguente problema: 



« Data una espressione dell'elemento lineare di una superficie, stabilire 

 «'le condizioni necessarie e sufficienti perchè sulla superficie stessa e quindi 



