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« su tutte le superficie ad essa applicabili esista almeno un sistema isotermo 

 « di Liouville e, verificate queste condizioni, determinare tutti i sistemi iso- 

 fi termi di Liouville, di cui la_superficie è dotata ». 



« Indicherò sempre con ]/<p la espressione dell'elemento lineare, di cui 

 si tratta ; con G la curvatura totale della superficie. Pel teorema del § 3 il 

 problema proposto equivale a ricercare se ed in quanti modi è possibile sod- 

 disfare alle equazioni (1), (2), (3) e (4), in cui tutte le funzioni sono inco- 

 gnite, eccettuati i coefficienti di y e quindi G. 



« Introducendo una indeterminata a, si può sostituire alla equazione (2) 

 il sistema equivalente 



Queste, assieme alle (4), ci dànno le derivate prime delle funzioni incognite y 

 e (y) espresse in funzione della incognita « e di G. Eliminando le derivate 

 stesse si perviene alle equazioni 



5) 



ds 



e da queste, eliminando ancora le derivate di a e ponendo 



G rs = Dtptp (G) , 



si ottiene la equazione 



« Se G è costante, questa equazione si riduce ad una identità, il sistema 

 di equazioni a derivate parziali di 1° ordine, che comprende le (1), (2'), (3), 

 (4) e (5) è incondizionatamente integrabile, ed il suo sistema integrale ge- 

 nerale contiene quattro costanti arbitrarie Si perviene così al seguente 

 teorema del resto già noto 



« Sopra ogni superficie a curvatura costante esiste un numero oo 4 di si- 

 « stemi isotermi di Liouville ». 



" 5. Ora supporrò G variabile, designerò con k r e k r i sistemi coordi- 

 nati delle linee G = costante (che chiamerò anche semplicemente linee G) 

 e delle loro traiettorie ortogonali, le cui direzioni positive supporrò stiano a 

 quelle delle linee G, come le linee % r stanno rispetto alle % r . Eappresen- 

 tando al solito con J t G il parametro differenziale di 2° ordine di G preso 

 considerando cp come forma fondamentale, si ha, come è noto, 



J,G = 2 rs a (rs) G«. 



( x ) Vedasi: Lie, Theorie der Transformationsgruppen, Erster Abschnitt, Kapitel 10. 



