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Si hanno pure le identità 



j n n $ Xp d Xn j n / \ y: n ^ ^ ^1 



AG.g = -2 M G Pi -^ — , AG.(g)= — 2 Pq <x Pq -fo-^' 



in cui da e óa rappresentano gli elementi lineari delle linee k r e k r , d' 

 e ó' le variazioni dovute agli incrementi da e da. Da esse e dalla prece- 

 dente, posto 



2J X G.h = J 2 G, 



si traggono le 



• GU = ha rò — (h + g) (k r k s — k r k s ) — (g) (k r k s -h k r k s ). 



Coli' aiuto di queste la equazione (6) si riduce alla forma 



6') 5 \ (y) cos xp + y sen xp \ = (h + g) sen 2ip ~f- (g) cos 2ip , 



designandosi con xp l'angolo, che le linee G fanno colle linee % r . Supponendo 

 ip = 0 o ip — Tt, e quindi (y) = (g) o (y) = — (g) dalle (6 r ) si trae (g)=0, 

 donde si conclude che, se si suppone che le linee G facciano parte di un 

 sistema isotermo di Liouville, ne segue che esse sono anche parallele. Dunque 



« Sopra le superficie a curvatura totale variabile G, che non sono ap- 

 « plicabili sopra delle superficie di rotazione, le linee G non fanno mai parte 

 « di un sistema isotermo di Liouville ». 



« 6. In vece delle due funzioni incognite y e (y) legate fra loro dalla 

 relazione (&) introduco ora una sola funzione incognita fi sostituendo alla 

 equazione stessa il sistema equivalente 



By — (g-hh — fi) cos xp — (g) sen xp 

 5 (y) = g cos xp + (g -+- h — fi) sen xp. 



Si possono allora stabilire direttamente le equazioni 



I) 5 j^- = (4<? — k-t~'n cos 2ip) k r -f- (4 (g) — fi sen 2xp) k r 



e le condizioni necessarie e sufficienti perchè: 



1° Questo sistema di equazioni sia integrabile; 



2° Tra i valori di xp, che vi soddisfanno, ne esista almeno uno tale 

 che il corrispondente sistema di linee % r appartenga ad un sistema isotermo 

 di Liouville. 

 « Posto 



7) p =,-^ — gh—iG, q = — ~hh(g) 



A = 4 (g + hf + &{gf + 25G — 10 - h) 



à'(g) 



B = -2{g) {g-+-h)-\Q 



ÓG 



