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« La equazione (IV) si riduce quindi alla A' = 0, cioè alla 

 h d £ = 2p(2h-3g), 

 la quale confrontata colla (11) diventa 

 A) 25^8 = 3 (2h — 3g) (òS + 2g (g + h)) 



ed è facile convincersi che la (10) è una conseguenza di questa. Conclu- 

 diamo che: 



« La condizione necessaria e sufficiente perchè sopra una superficie a 

 « curvatura totale variabile G, su cui le linee G sono insieme parallele ed 

 « isoterme, e che è quindi applicabile sopra una superficie di rotazione, esistano 

 k dei sistemi isotermi di Liouville, oltre a quello, di cui fanno parte le linee G, 

 « è data dalla (A). — Verificata questa condizione, il numero dei sistemi 

 « cercati è oo 2 e questi si ottengono tutti integrando il sistema incondizio- 

 « natamente integrabile, che risulta delle (I) e (II) dopo avervi posto q=(g)—0 

 « e per p il valore dato dalla (11) ». 



« 8. Se si suppone soltanto (g) = 0, si hanno ancora le (9) e (10), 

 mentre la (7) e la (8) dànno 



10 x d'g d'h 



Eliminando le derivate di g e di h tra tutte queste equazioni si perviene 

 alle relazioni 



h^=Vogf=(2lg-4h)q 



e quindi, escludendosi ora il caso di q = 0, alla 



2h = 3g, 



la quale è in contraddizione colle (12). Dunque 



« Le superficie a curvatura totale Gr variabile e sulle quali le linee G 

 a sono parallele, ma non isoterme, non ammettono alcun sistema isotermo 

 di Liouville ». 



« 9. Dal confronto delle equazioni (III) e (IV) risulta che 

 « Se le equazioni 



qk = (g)k', qB = (g)B' 



« non sono identicamente soddisfatte, le superfìcie, il cui elemento lineare è 

 « espresso da |/y e che si suppongono non applicabili sopra delle superficie 

 « di rotazione, ammettono al più un sistema isotermo di Liouville, se tale 

 « è il sistema doppio ortogonale, per cui l'angolo tp, che uno dei due sistemi 

 « di linee, che lo compongono, fa colle linee G-, soddisfa alla equazione 



j #A — (g) A' [ sen 2ip-+-\qB — (g) B' [ cos 2ip = 0 ». 



