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« Di questo teorema diamo alcuni corollari. 



« Si supponga dapprima q = 0 e (g) § 0. Avremo 



A' = Qpg — 4ph -f- 5 ~ 



e poiché, come risulta eliminando tra le (7) le derivate di h, si ha in que- 

 sto caso 



13) 2 07)0, -MG) 



avremo anche 



B' = 8 (g) (2p + 5G). 

 Non può dunque essere B' = 0, se non si ha 



2p= — 5G 



e quindi 



da 



e per la (13) G = 0. Dunque in questo caso la equazione, che, secondo il 

 teorema precedente, determina la tangente di 2ip, non può essere identicamente 

 soddisfatta e possiamo concludere che 



« Le superficie, per cui le linee G- sono isoterme e non parallele ammet- 

 « tono al più un sistema isotermo di Liouville, se tale è il sistema doppio 

 « ortogonale, per cui la tangente dell'angolo 2ip è determinata dalla equazione 



« (&pg — Aph + 5 d -£^ sen 2^ + 8 (g) (2p ~h 5G) cos 2xp = 0 ». 



« In secondo luogo supponiamo che \/<j) rappresenti l'elemento lineare 

 di una superfìcie a curvatura media costante. Se questa è data ed eguale a c 

 è perciò necessario e sufficiente che si abbia {}) 



j 2 log (G — c 2 ) = 4G. 



Tenendo conto di questa, la equazione, che determina la tangente di 2xp, si ri- 

 duce ad una forma semplicissima, e ne risulta che pel teorema del § 6 essa 

 non può mai essere identicamente soddisfatta. Abbiamo così che 



« Se j/<p è una espressione dell'elemento lineare di una superficie a 

 « curvatura media costante non applicabile sopra una superficie di rotazione, 

 « su tale superficie esiste tutt' al più un sistema isotermo di Liouville se 

 « tale è quello, per cui la tangente dell'angolo 2 xp è determinata dalla 

 « equazione 



(h + g) sen 2ip -h(g) cos 2t/> = 0 ». 



(!) Vedasi la Memoria del prof. Padova, Sulla teoria generale delle superficie, letta 

 alla E. Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna il dì 27 aprile 1890. 



