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« Confrontando poi questa equazione colla (6') si perviene alla 



(y) cos xp + y sen i// = 0 , 



nella quale, ricordando i significati di y, (y) e xp, si legge una notevole pro- 

 prietà dei sistemi isotermi di Liouville sulle superficie, di cui ci occupiamo. 

 « 10. Se le equazioni 



sono identicamente soddisfatte, le equazioni (III) e (IV) coincidono e, sup- 

 ponendo (g) > 0, la (III) determina fi. Se questo valore di ii è tale che sod- 

 disfi identicamente alle (II), quando per le derivate di xp si pongano i valori 

 dati dalle (I), le (I) stesse, in cui per p siasi sostituito l'accennato valore, 

 costituiscono un sistema incondizionatamente integrabile, il cui integrale ge- 

 nerale ammette una costante arbitraria. 

 « Ora, posto 





Ufo) P = 



A, 



14(0) Q = 



B 



c == 



5 -T- — hp 



+ 2Q(/i — 



40)H-P(2P 



-3(0)) 



D = 



K d'Q t K 

 5 ^ + 5 ^ 



— 2P (h — 



40) + Q(2P- 



-3(0)) 



C'= 



(TP 



-8fo)Q- 



h P (2Q -f- 30 • 



— 2h) 



D'= 





H-8<0)P- 



f-Q(2Q + 30 



-2h), 



se si eseguiscono le accennate sostituzioni nel sistema (II), si perviene alle 

 equazioni 



Csen2i/^-hDcos2(//=:0 

 C'sen2(^4-D'cos2^ = 0. 



Abbiamo dunque che 



« Le condizioni necessarie e sufficienti perchè esistano infiniti sistemi di 

 « Liouville sopra una superficie a curvatura totale variabile G, su cui le 

 « linee Gr non sono parallele, sono date dalle equazioni 



0 = D = C == D' = 0 . 

 - Verificate' queste, la superficie è dotata di un numero semplicemente in- 

 « finito di sistemi isotermi di Liouville, i quali si ottengono integrando il 

 « sistema di equazioni (I) dopo avervi sostituito per \x il valore dato dalla 

 « equazione (III). In questo sistema, che è incondizionatamente integrabile, 

 « la funzione incognita xp rappresenta l'angolo, che le linee di uno dei due 

 « sistemi ortogonali costituenti il sistema isotermo di Liouville fa colle 

 « linee G- ». 



