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« Ora io credo che la dimostrazione, per essere rigorosa, dovrebbe essere 

 condotta nel seguente modo: 



« Essendo AB, A'B' due tratti della medesima curva chiusa C, che, da 

 « sola o insieme con altre, forma il contorno di una parte della superficie 



« connessa S, sieno a, b due punti prossimi a i 



« quanto ci piace sul tratto AB, dai quali par- ** — — M 



« tono i due margini della sezione trasversa per 



« terminare ai due punti a', b', prossimi quanto b' 



« ci piace, situati nel tratto A' B' : e propria- g ~~ 



« mente il margine della sezione che si stacca dal punto a termini in a', e 

 « quello che si stacca dal punto b termini in b' ». 



« Si tratta evidentemente di dimostrare, con questi dati, che muoven- 

 « doci sulla curva C dal punto a nella direzione «A si incontra prima il 

 « punto a' poi il punto b\ o muovendoci dal punto b nella direzione b B si 

 « incontra prima il punto V poi il punto a' » . 



a Presentata la cosa in questo modo, che a me sembra l'unico rigoroso 

 perchè non suppone nulla nè sulla forma della superficie S, nè sull'anda- 

 mento della curva C e della sezione trasversa, è il teorema così evidente 

 da poter fare a meno di ogni dimostrazione ? Si potrà subito, con evidenza, 

 escludere che, partendo da a e muovendoci nella direzione a A, si incontri 

 prima il punto V poi il punto a! ? 



« È vero che nello studio della connessione vengono escluse le superficie 

 che presentano ripiegature o spaccature (o più propriamente sfaldature come 

 mi consiglia di dire l'illustre prof. Beltrami), ed anche, come fa il sig. Carlo 

 Neumann nel suo eccellente trattato Sulle funzioni Abeliane, parlando ap- 

 punto del teorema da me accennato, le superficie unilaterali, cioè tali che 

 su di esse un osservatore, partendo da un punto può, con continuità, senza 

 mai uscire dalla superficie, tornare al punto di partenza in una posizione 

 opposta a quella che ave\ r a quando è partito, Queste esclusioni sono neces- 

 sarie perchè su tali superficie il teorema non è più vero, come ha mostrato 

 il sig. Neumann per la superficie di Moebius, e come si potrebbe dimostrare 

 per tutte le superficie ideate in modo analogo. Ma l'aver fatto vedere che 

 esistono delle superficie sulle quali il teorema non ha luogo, non toglie la 

 necessità di dimostrare che esso non è in difetto sulle altre. 



« Infatti ammesso pure che la superficie che si considera non sia uni- 

 laterale nè possegga sfaldature, non volendo fare alcuna ipotesi speciale sulla 

 sua conformazione, una volta fissata la faccia che si prende a considerare in 

 prossimità del tratto AB della curva C, sarà necessario fare le due ipotesi 

 possibili circa la faccia che vi corrisponde in prossimità del tratto A'B'. 

 Inoltre, fatta una ipotesi circa la direzione in cui si muove la sezione tra- 

 sversa in partenza dai punti a, b, ad essa corrisponderanno le due ipotesi 

 relative alla direzione in cui si muoverà nel suo giungere ai punti a! b . 



