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Matematica. — Osservazioni sui gruppi di sostituzioni fra 

 le caratteristiche dispari di genere 3 e di genere 4. Nota di 

 Ernesto Pascal, presentata dal Socio Cremona. 



« Lo scopo di questa breve Nota è di porre in rilievo alcune analogie 

 che esistono fra i gruppi di caratteristiche dispari di genere 3 e di genere 4, 

 e propriamente faremo vedere in che maniera certe proprietà note del primo 

 gruppo si estendono al secondo. 



« Per tutto quello che diremo ci riferiremo sempre all'altra nostra Nota 

 pubblicata in questi stessi Kendiconti (') e intitolata ■ Su di un'estensione della 

 configurazione delle 10 rette della superficie di 5° ordine a quintica doppia. 



« Si sa che pel genere 3, se si conosce una delle 28 caratteristiche 

 dispari, l'equazione che ha per radici le altre 27 non ha una risolvente di 

 grado inferiore al 27 mo ; essa corrisponde all'equazione delle 27 rette di S 3 

 che, come ha dimostrato Jordan, ha appunto la indicata proprietà. Se si 

 conosce poi un'altra delle 27 caratteristiche, allora le altre 26 si separano 

 in due sistemi di transitività, 10 + 16, e l'equazione delle seconde 16 ha 

 per risolvente l'equazione delle prime 10, la quale a sua volta, colla riso- 

 luzione di un'equazione generale di 5° grado, si decompone in cinque fattori 

 quadratici, ognuno dei quali corrisponde ad uno dei noti cinque coni di 

 Kummer della superficie di 4° ordine a conica doppia, o anche ai cinque 

 piani tritangenti passanti per una retta della superficie di 3° ordine ( 2 ). 



« Se si conosce poi una delle 16 radici, le altre 15 si separano ìd due 

 sistemi di transitività, 5 + 10, e anche qui l'equazione delle seconde 10 ha 

 per risolvente un'equazione generale di 5° grado, e quindi possiamo dire che 

 conoscendo due caratteristiche dispari di genere 3, la conoscenza delle altre 

 dipende da un'equazione di 5° grado generale, e conoscendone Ire formanti 

 una terna pari, la conoscenza delle altre dipende anche da un'equazione 

 generale di 5° grado. 



« Ora si può far vedere che qualcosa di analogo succede per le carat- 

 teristiche dispari di genere 4, che corrisponderebbero ai piani tritangenti 

 della sestica storta. 



« Conosciute due delle 120 caratteristiche dispari, abbiamo già visto 

 nella Nota citata (§ 1) che le altre 118 si separano in due sistemi di tran- 

 sitività, 54 + 64; si può qui far vedere che l'equazione delle seconde 64 

 ha per risolvente l'equazione delle prime 54, la quale a sua volta si scinde 



(!) V. pag. 65. 



( 2 ) Il Cremona nei Kendiconti dell'Istituto Lombardo (1871) dimostrò che con una 

 conveniente trasformazione quadratica, la superficie di 3° ordine diventa la S 4 di Clebsch, 

 e i cinque piani passanti per una retta corrispondono ai cinque coni di Kummer. 



