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in. 27 fattori quadratici dopo la risoluzione di un'equazione di 27 mo grado, 

 che non ha risolventi di grado più basso, e che quindi tiene qui le veci 

 dell'equazione generale di 5° grado che si trovava pel genere 3, o anche si 

 può dire che questa risolvente di 27 mo grado è la diretta generalizzazione 

 dell'equazione dei cinque coni di Kummer. 



« Infatti adoperando la solita rappresentazione, le due caratteristiche 

 fisse sieno rappresentate dai piani 



(129) , (1210). 



Allora i 54 piani che fanno con questi due una terna dispari sono dei tipi Q) 



(9 ij) , (10 i j) 



dove ij j rappresentano tutte le combinazioni a due a due dei numeri 1, 2, 

 3, 4, 5, 6, 7, 8 (meno la combinazione 1, 2). Si vede allora che tali 54 

 piani si riuniscono a due a due e ogni coppia corrisponde ad una delle 27 

 rette (meno la (12)) che congiungono a due a due quelli otto punti. Ogni 

 piano di una delle 27 coppie individua l'altro, perchè con esso e coi due 

 piani fìssi forma una quaterna-zero ( 2 ). 



« Consideriamo allora solo i 27 piani passanti pel punto (9). 



« È facile vedere che questi si raggruppano fra loro in una configura- 

 zione che è isomorfa con quella delle 27 rette della superficie di 3° ordine, 

 perchè essi si riuniscono a tre a tre in maniera simile a quella colla quale 

 a tre a tre si riuniscono le 27 rette. 



« Facendo infatti corrispondere univocamente a ciascuno dei 27 piani, 

 una delle 27 rette si ha che, come nella rappresentazione delle caratteri- 

 stiche di genere 3, le tre rette 



(13) (34) (42) 

 ovvero (34) (56) (78) 



insieme colla retta fissa (12) formano una quaterna-zero, così qui i piani 

 corrispondenti 



(913) (934) (942) 

 ovvero (934) (956) (978) 

 rispettivamente coi piani fissi (912) ovvero (1012) dànno quaterna-zero. 



« Possiamo dunque concludere che il gruppo delle 27 coppie di piani 

 è isomorfo con quello delle 27 rette di S 3 , e quindi, come questo, non potrà 

 avere risolventi di grado più basso. 



« Resta a far vedere che l'equazione di queste 27 coppie è una risol- 

 vente dell'equazione dei 64 piani. 



(!) Mem. I, Annali v. XX, § 16. 

 ( 2 ) Idem. § 15. 



