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(124) in (246). Allora consideriamo il sistema completo di caratteristiche 

 dispari : 



123 . 124 . 125 . 126 . 127 . 128 . 129 . 1210 , q = l q' = 2. 

 « I tre primi piani debbono diventare rispettivamente : 

 123 . 246 . L25 



mentre poi la sostituzione deve essere tale che trasformi in sè stesso il 

 piano (134), e ciò porta che deve essere q == 6. 



« Onde dobbiamo vedere se esiste un sistema completo di quelli da noi 

 già calcolati nella Mem. I, tale che contenga i tre piani 123 . 246 . 125, 

 e una delle due caratteristiche pari basi sia q = 6. Esaminando le figure 

 della tavola IV della citata Memoria si trova che p. e. la fig. 29 a soddisfa 

 a queste condizioni scambiandovi opportunamente le denominazioni dei punti. 

 In analoga maniera si procederebbe in ogni altro caso. 



« Così per la dimostrazione del 2° teorema dobbiamo far vedere che si 

 possono soddisfare contemporaneamente le seguenti condizioni ; che p. es. 

 i piani: 



123 . 124 . 125 | 134 . 253 



diventino rispettivamente : 



134 . 124 . 145 | 123 . 216 



« Adoperando il sistema completo di sopra si vede che ciò porta che 

 q, q debbono trasformarsi in q = l , q = (12356), e la quistione si riduce 

 a ricercare fra le figure della tavola IV della Mem I una nella quale esi- 

 stano i piani 123 . 124 . 125, mentre le caratteristiche fondamentali sieno 

 q == 1 , q[ = (12356) = (478910) e si vede che la fig. 27 a soddisfa a queste 

 condizioni con opportune trasformazioni di punti. 



« Il numero delle sostituzioni che lasciano fissi i tre sistemi d'impri- 

 mitività sarà evidentemente 3 . 5 . 4 . 8 4 , e il numero di quelle che lasciano 

 fisso anche un piano del primo sistema sarà allora 3 . 5 . 8 3 , mentre quelle 

 che lasciano fisso un piano del primo sistema e uno del secondo saranno 

 3.5.16; e se più. generalmente nel secondo sistema non vogliamo che sia 

 fisso un piano, ma solo una delle 16 coppe di piani allora l'ordine diventa 

 il doppio cioè 3.5. 32. 



« Ora noi ci proponiamo qui di far vedere che, per la speciale scelta 

 che facciamo dei piani fìssi, queste sostituzioni si possono costruire e rap- 

 presentare in un modo molto facile. 



« Effettivamente in primo luogo fra i quattro punti 2, 3, 4, 5 possiamo 

 fare le quattro sostituzioni: 



g = [l , (24) , (35) , (24)(35)] 

 per le quali evidentemente la quadrica data resta fissa, e inoltre resta fìsso 

 il piano (124) del 1° sistema, e la coppia (253) (453) del 2° sistema resta 



