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anche fissa. Inoltre per le 5! sostituzioni fra i cinque altri punti 6, 7, 8, 

 9, 10, evidentemente si ha il medesimo effetto, e quindi abbiamo in tutto 

 costruite 4.5! sostituzioni per le quali resta fissa la quadrica, un piano del 

 1° sistema, e una coppia del 2°. Ma abbiamo già visto che proprio in tal 

 numero debbono essere le sostituzioni che producono questo effetto, dunque 

 le abbiamo costruite tutte. 



« Di qui ne ricaviamo subito i teoremi: 



* 3) Il sottogruppo S'" che lascia fisso un piano di un 

 sistema e una coppia di un altro (e quindi i tre sistemi) la- 

 scerà fissa una coppia del 3° sistema. 



«4) Il medesimo sottogruppo non è più transitivo nelle 

 altre coppie di ciascuno dei sistemi (come succedeva pel genere 3) 

 ma separa le altre 15 coppie in 5-hlO, essendo transitivo 

 in ciascuna di queste due classi. 



« 5) Il medesimo sottogruppo è transitivo nei 20 piani 

 della tabella (B). 



§ 3. — Sottogruppo S" che lascia fìssa la quadrica 

 e un piano dei tre sistemi d'imprimitività. 



« La proprietà contenuta nel n. 4 del § precedente ha una natura più 

 generale ; essa cioè non è una proprietà solo del sottogruppo che oltre lasciar 

 fisso un piano lascia fìssa anche una coppia d'un altro sistema, ma è una 

 proprietà addirittura del sottogruppo che lascia fisso solamente un piano, 

 cioè noi ora dimostreremo che: 



« 6) Il sottogruppo S" che oltre lasciar fissa la quadrica, 

 lascia fisso un piano di uno dei tre sistemi d'imprimitività 

 (uno dei 96) o una coppia, scinde le altre 15 coppie del mede- 

 simo sistema in 10 + 5. 



« Si vede allora che il teorema 4) non è che una conseguenza dei due 

 teoremi 3), 6). 



9 5 8 5 



« Prima di tutto l'ordine di S" è: ' ' = 15.2.8 3 . Cercheremo di co- 



95 



struire tutte queste sostituzioni, e questa costruzione la scinderemo in tre 

 parti; costruiremo prima le 16.5! sostituzioni che lasciano fisso anche cia- 

 scuno dei quattro piani della quaterna fondamentale, poi faremo permutare 

 fra loro questi 4 piani colle 4 sostituzioni, tali che restino fissi i tre sistemi 

 d'imprimitività, e finalmente faremo scambiare fra loro i due ultimi sistemi 

 d'imprimitività (il 1° resta sempre fìsso, perchè resta fìsso un piano in esso 

 contenuto). 



« Sappiamo che le sostituzioni le possiamo rappresentare completamente 



