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Matematica. — Sulla superficie del 4° ordine a conica dop- 

 pia. Nota di A. Del Re, presentata dal Socio Cremona. 



« In questa Nota è trattata la superficie del 4° ordine a conica doppia 

 come superficie fondamentale di un connesso punto-piano (1, 2) specializzato, 

 e come superficie polare congiunta rispetto ad un connesso piano-retta (2,2) 

 e ad una quadrica. È inoltre costruita, la superficie, per forme proiettive ( ] ). 



§ I. 



« 1. Un connesso punto-piano (1, 2) specializzato in modo da avere una 

 sviluppabile di 3 a classe di piani singolari, decomposta in un fascio di 2° or- 

 dine di una stella (E) ed in un fascio di 1° ordine (r), può essere con una con- 

 veniente sostituzione lineare ridotto alla forma 



<Pxu ^Pcc {U$ Uf — U$r Uj) -f- U a (r x m — Qx Ih) = 0 (1) 



ove u a = 0 è l'equazione di E, u$ uy — u$i = 0 quella di una quadrica 

 cui appartengono il fascio di 2° ordine e quello di 1° ordine ; ed ove si ha, 

 per i = 1, ... , 4 : 



A' — Pi — <$i, y'i — Yi = e i- (2) 

 Allora il connesso ha anche un punto singolare: il punto §i = (pqr)i (i==l, ... , 4) 

 comune ai piani p x = 0, q x — 0, r x = 0. 

 « Per mezzo di cp XH , e per essere 



ix+k — tx- J rti = t x - J r (tpqr) = t x 

 (t = p, q, r) 



ai punti di una stessa retta, uscente da £, corrisponde sempre lo stesso iper- 

 boloide ; si può, dunque, ritenere la (1) come riferente fra loro le rette di f, 

 e le quadriche inscritte nella sviluppabile (E) -f- (r) ; così, per ogni retta si 

 ha una quadrica, e per ogni quadrica una retta, e questa corrispondenza è 

 proiettiva, perchè ponendo 



Xi == & -t- liji H- ixzi (i — 1, ... , 4) 



si ha : 



t x ~ t^\y+!j. z = ti y ~h f-it z (t =p, q, r) ; 

 e quindi, mentre x descrive il piano ìyz, la quadrica corrispondente varia 

 nella schiera 



tyyu + P<Pzu = 0. 



(!) Per uno studio elaborato intorno alle superficie del 4° ordine a conica doppia, e 

 per le notizie storiche intorno alle medesime, si può consultare la dotta Memoria del Segre 

 ins. nei Matli. Ann., 1884. Come lavori più recenti si hanno una Memoria del sig. Berzolari, pub- 

 blicata negli Annali di Mat. del 1884, ed una traduzione italiana (del sig. Loria) di una 

 Memoria dello Zeuthen pubblicata nel 1879 in occasione delle feste pel centenario del- 

 l'Università di Copenaghen (Ann. di Mat. an. 1884). Vi è anche una Nota del Cosserat 

 sulla Ciclide di Dupin, ma è di geometria infinitesimale. (Annales de Toulouse, 1892). 



