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di piani congiunti passano tutte per P ; e questo luogo è una conica poiché 

 le rette comuni ai piani delle diverse coppie sono in un piano. La superficie 

 del 4° ordine che stiamo studiando è, adunque, a conica doppia. — Questa 

 proprietà risulta, del resto, anche dalla relazione proiettiva fra le rette di (P) 

 e le quadriche di (T); poiché, essendo a base di (T) una sviluppabile de- 

 composta (E)-h(r), di (T) fanno parte tutti i piani di (r) ciascuno consi- 

 derato come doppio. Trovando, perciò, le rette di (P) che corrispondono ai 

 piani di (r) nella (T) ~f\ (P), queste saranno anch'esse in un piano, e ciascuna 

 incontrerà il piano corrispondente in un punto, che, come ritroveremo in 

 base ad altre considerazioni, è doppio per la superfìcie e genera una conica 

 che passa per P ed è appoggiata ad r. 



§ IH. 



« 3. La equazione (1), può essere scritta nella forma 

 $i (u$ uy — ufi m t ) -h £52 (u* u i — Ua.uy) 4- $3 ( Ma M P' — Ma M 3) = 0; 

 ne segue che, tanto è considerare il connesso <p xu , quanto considerare il si- 

 stema simultaneo delle equazioni 



(e) = lUu + fMlfì 4- VUy — 0 \ 

 (o')= Illa. 4- [lUfi'-h TUy= 0 \ (10) 



(P)=A$4-^+^3=0 ) 

 ove l, [A, v sono parametri variabili; cioè, le scambievoli relazioni poste per 

 mezzo della (1) 0 (T) fra le x e le u sono le medesime di quelle poste dalla 

 simultaneità delle equazioni (10) per tutte le possibili terne di valori delle 

 X, /a, v. — Ora, le (10) definiscono un'omografìa Si fra i piani (a), (n') ed 

 una reciprocità R fra questi piani e la stella (P); la Sì ha un punto unito 

 in E == Ua = 0 , senza avere unita la retta co' = s = f, ed i piani che con- 

 giungono rette corrispondenti in Sì sono precisamente i piani del fascio di 

 2° ordine (E), e quelli del fascio di 1° ordine (r). Quelle congiunte dai piani 

 di (E) passano per E, e sono punteggiate prospettivamente, il centro di pro- 

 spettiva essendo su r ; quelle congiunte dai piani di (r) passano, in vece, pei 

 punti r.(c, a') == S, S', e fra esse non sono punteggiate prospettivamente che 

 le ES, ES'. I piani e, a' di (E) congiungono le rette tt', ss' i cui centri di 

 prospettiva sono ordinatamente S, S'. — La reciprocità E è generale. 



u Per mezzo di Sì è individuato un sistema di rette del 2° ordine e 

 l a classe r, i cui iperboloidi sono gli iperboloidi del connesso (p xu , e con- 

 tengono tutti per direttrice la r. Prendendo uno di questi, e prendendo la 

 retta che per mezzo di (T) ~/\ (P) gli corrisponde in (P), per questa retta 

 passeranno due piani i quali corrispondono in E ai punti di (ff), (<?') nei quali 

 <r, <s' vengono tagliati dai raggi di r che sono generatrici dell' iperboloide, e 

 passano pei suoi punti d'incontro colla retta. Un punto, dunque, della super- 

 fìcie del 4° ordine che stiamo studiando, si trova anche alla intersezione di 

 un raggio di r, e del piano che per mezzo di Sì ed E gli viene a corri- 



