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spendere in (P); vale a dire che noi possiamo dare l'enunciato seguente: 

 Oltre ai precedenti modi di generazione, la superficie ne 

 ammette un quarto: essa può essere costruita come luogo 

 delle intersezioni degli elementi corrispondenti di un si- 

 stema dirette di 2° ordine e l a classe e di una stella di piani 

 ad esso proiettivamente riferita. 



« Quest'ultimo modo di generazione conduce subito a varie interessanti 

 conseguenze, di cui ne metteremo in rilievo qualcuna nel paragrafo seguente. 



§ IV. 



« 4. Su un raggio di Sì un punto ha per coordinate espressioni della forma: 

 *< = ( Q -+■ q') + fi (qPì + 4- v (o Yi -h q'y'i) (11) 

 (1 = 1,. ..,4) 



perciò, se s' indica con M x 1' invariante simultaneo della retta (% = ce, /?, y) 



e della retta M = (A = bc, B = ca, C = «è), e si pone 



g = A a . A 2 +Bp . /t 2 + C T . r 2 -r (A(H-B a ) A/t + (B j-f-Cp) jtv + (C a +A T ) 



A a . X 2 -j-Bfir. ^ 2 + . J< 2 + (ApH-B«) /U 4- (B f +(» i WI'-f- (Ca+Ay) J A 



© = B s . ,u 2 4- C E . v 2 4- A 8 . A,« 4- (B s + C 8 ) pv.+ A 6 . wl 



sulla superficie, indipendentemente da q, q si avrà : 



Si ■== 1^ .è~h (M -h vy*) — (M- + v //) g (12) 

 (»==1,...,4) 



epperò sono queste le formule della rappresentazione parametrica della super- 

 ficie. — Da esse si vede che, interpretando le A, jw, v come coordinate di un 

 punto sul piano e, p. e., la superficie è rappresentata su questo piano dal 

 sistema lineare oo 3 delle cubiche 



hlo> • © -h (flUfi -+- Wv) — (flUfit ~h vuy) $ = 0 



ove Ui , ... , sono le coordinate di un piano secante la superficie. 



« Queste cubiche hanno a comune i 4 punti g = 0, = 0, che indi- 

 cheremo con Ai , ... ,A 4 ed il punto fi = 0, v = 0, cioè E; e la conica di 

 questi 5 punti è precisamente la 



® = 0. (14) 

 « Se fra i piani secanti la superficie si scelgono quelli per cui 



ufi = ufi' u-y ■■— u~f (15) 

 cioè quelli della retta r, allora le immagini delle sezioni fatte da questi 

 piani hanno per equazione 



(&u a H- juwp + vu^) . © = 0 

 cioè la conica (14) ed il fascio delle rette 



lUa. -f- jttap + = 0 ] 



^5 = 0 ! (16) 



ih = 0 ] 



