che è quello di centro S. La conica (14) rappresenta un luogo fisso sulla 

 superficie e sulle sezioni fatte coi piani di r. Si ha dunque che la retta r 

 è sulla superficie ed è rappresentata dalla conica © = 0. 

 Questo fatto si può, del resto (e giova il farlo) far risultare più immediata- 

 mente dalle formule (12). Per un punto (2, fi, r) percorrente la conica ©=0 

 si ha g = g', epperò pel punto di cui esso è l'immagine si ha: 

 g i = (fió i ~hve i ). ( ^ (i= 1 , . . . , 4). 



« Siccome qui ^ funziona da fattore di proporzionalità, si ha addirittura 

 ii== [jidi-Hyei (i — 1 , ... , 4) 

 e queste sono le equazioni della retta r, perchè r è la retta dei punti c?;, e*, 

 siccome risulta dalle (15). 



« 5. Scriviamo più comodamente le equazioni delle rette date dalle (16), 

 utilizzando la (17). Un punto di r è su e se i due parametri omogenei /?, v 

 soddisfanno alla condizione 



fi . (apyó) -i- v . (afre) = 0 



cioè se 



p = (afre) = (apyy') , (cc(3yd) =— (aflrf) = (affl'y ). 



« Si avranno perciò, per coordinate di S le espressioni 



*, = di (apyy') -f- g (a^'y) (1=1, ... , 4) (18) 



ed in modo analogo, ma queste ora a noi non occorrono, per coordinate di S' 

 le espressioni = J t - (ap'y'y) + (a§'(ìy') (i = 1, . . . , 4). Introducendo, 

 quindi, due quaterne arbitrarie di numeri qì , r t , ma fissi col porre 

 l(ósag) -f- fi, (de/ìg) -+- v (dty(>) — &\ 



X(Ó£(xt) + fi (óefSv) + v (ósyx) = % x ^ 

 l'equazione del fascio di rette in quistione sarà : 



#i ^ -i- e 2X \ = o 



6 1 : 8 2 essendo parametro variabile colle rette del fascio. — Si ha da ciò che, 

 se si pone 



Si '. So - S3 = 



(Ósccq) (òefit)) (3 £ YQ) 

 (òsccv) (Js/^r) (ósyc) 



-{ayy'd) (fjyp'y') 0 



(20) 



e poi anche : 



ci = Si pi -f- s 2 qi 4- <? 3 n (e = 1 , ... , 4) 

 l'equazione della immagine della conica doppia sarà 



fo a . ©0 + (fio?, -h rcj) . g r 0 — ( W -h »'<y) = 0 (21) 

 da cui si vede che una tale immagine è una cubica che passa per S, poiché 

 si ha identicamente 



Si Ca. ©0 + (S 2 C$ -f- S 3 C T ) 5'o — ( s 2 <T H- S 3 C T ') g 0 — 0 



( x ) Invece di (>i e r; qualunque si possono pure prendere /?* , ; & , y/; jS'j , : jS'f , y/, 

 ma non , ; /i , Allora, in vece delle (19) si presentano, p. e., le /t(«^'e) — v(pyy'ó)=0, 



