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« Ora si può vedere che non esiste una quaterna-zero contenente solo 

 uq piano di (A). Infatti sia esso (135) ; allora sappiamo che se questo resta 

 fisso, rimane la transitività fra i 20 piani di (B); quindi assumiamo arbi- 

 trariamente uno di questi 20 piani e sia (236); ora con i due piani (135) 

 (236) tutti gli altri piani di (B) o formano terna pari ovvero formano terna 

 dispari ma la cui somma non è più un piano di (B). 



« Esaminiamo ora le quaterne formate con piani scelti solo fra i 20 

 di (B). Possiamo far vedere come è formato il gruppo di sostituzioni che 

 lasciano fìsso uno dei 20 piani p. es. (236). 



« Si vede che (236) unito con un piano della stessa sua colonna forma 

 quaterna-zero con una coppia della quaterna data fondamentale, mentre ciò 

 non succede per ogni altro piano non appartenente alla medesima colonna 

 di (236). Dunque: 



« Il gruppo che lascia fisso uno elei 20 piani, separa gli altri 19 in 

 3 + 16 ». 



« Possiamo dimostrare ancora che fra i 16 c'è la transitività. Infatti 

 con semplici permutazioni dei punti 7,8,9,10, colle quali (236) resta fisso, 

 e anche la quadrica fondamentale resta fissa, da un piano dei 16 posso pas- 

 sare ad ogni altro compreso nella medesima linea cui esso appartiene. Inoltre 

 colla sostituzione che muta il sistema completo 



231 . 236 . 234 . 235 . 237 . 238 . 239 . 2310 , q = 2 , q' = 3 



in 



231 . 236 . 165 . 235 . 347 . 348 . 349 . 3410 , g = 2 , q' = 12456 

 (corrispondente ad una figura come la 27 a della Mem. I degli Annali di Ma- 

 tematica voi. XX) si lascia fisso (236) e la quadrica fondamentale, mentre si 

 muta (237) in (347); e colla sostituzione che muta lo stesso sistema com- 

 pleto in 



231 . 236 . 234 . 164 . 257 . 258 . 259 . 2510 , q = 13456 , q' w,S 

 si muta, invece (236) in (257), e finalmente col prodotto delle due sostitu- 

 zioni si muta (237) in (457) ; dunque (237) può trasformarsi anche in ogni 

 altro della sua medesima colonna e con ciò resta dimostrata la transitività 

 fra i 16 piani. 



u Si vede allora che le sole quaterne fra loro non equivalenti che pos- 

 sono formarsi con piani scelti solo nel quadro (B) sono di due tipi cioè 



[a 8 ] 236 . 436 . 456 . 256 in numero di 5 

 [a 10 ] 236 . 436 . 237 . 437 » 120 



§ 5. Proprietà geometriche delle varie coppie di quadricrie. 



« Colle cose dette nel § precedente noi siamo ora in grado di distinguere 

 le varie specie di coppie di quadriche esterne l'ima all'altra e di fissarne i 

 caratteri distintivi. 



