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Matematica. — Sopra un sistema di rette (3, 4). Nota di 

 A. Del Re, presentata dal Socio Cremona. 



« Nei Eend. del Circolo Matematico di Palermo, t. I. fase. 4°, an. 1887, 

 in una Nota dal titolo : 'Su certi luoghi che s'incontrano nello studio ecc., 



10 trattai di un certo sistema di rette del 3° ordine e della 4 a classe, con- 

 tenente nove fasci, due coni quadrici ed un cono cubico. Questo sistema io 

 l'ho ora di nuovo incontrato nel seguito di alcune ricerche intorno alle su- 

 perficie del 5° ordine, e mi propongo in questa Nota di metterne in evidenza 

 le proprietà che ho ricavate. Fra l'altro vi si trovan dedotte le formule per- 

 la rappresentazione piana di certe superfìcie dell' i mo ordine, omaloidi, con k 

 rette (i — 7, 6, 5 ; k — 9, 10, 11), e vi si trova studiata una certa congruenza 

 del 3° grado che si presenta quale caso speciale del sistema. 



§ I. 



Le formule per la rappresentazione piana del sistema. 



« 1. Una stella di piani può essere rappresentata dall'equazione 



(S) = Xp x + 4- rr x = 0 (1) 

 ove p x = 0, q x = 0, r x = 0 sono tre piani della stella e X:^:r parametri 

 variabili. Una stella (?) di rette, reciprocamente riferita alla (S), e che abbia 



11 centro in un punto £; (i = 1, ... , 4) si può, in vece, intendere data (') dalle 

 equazioni : 



ft=stf£H-*ft (1 = 1,... ,4) (2) 



ove è 



rji =s Xtxi -+- fifa + vyì (i = 1, ... , 4) (3) 



ed ove «*, sono le coordinate di tre punti non complanari con ?; ; A : : r 

 fissano la posizione di una retta della stella, e <t:t un punto Zi di questa. 



« Analogamente, un'altra stella di rette, reciprocamente riferita alla (S) 

 e che abbia il centro nel punto t'i , s' intenderà data dalle equazioni : 



4=>K + *Yi (» = 1,...,4) (2') 



ove è 



r/i = Xa'i + -f- vy'i (ì — 1, ... , 4) 



ed ove significato analogo al precedente hanno le quantità et i, Puffi kfi:v; . 

 Ciò posto, il punto ove la retta l : [a : v della stella (?) incontri il corrispon- 

 dente piano di (S) sarà tale che per esso si avrà : 



<* \ l R + MI ~+- vr%) -h i (tyh -f - pq-n •+ vr-è = 0 (5) 



(*) Cfr. la mia Nota: Ancora della sup. del 5° ord. ecc., nei Eend. della E. Acc. 

 dei Lincei, settembre 1892. 



Eendiconti. 1893, Vol. II, 1° Sem. 31 



