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§ n. 



Il sistema lineare rappresentativo. — I fasei ed i coni di K. 



« 3. Se indichiamo con A ;J . l' invariante simultaneo della retta 

 f.i = h, a, b, c, a', l, ...,g, /', n 

 considerata come asse di un complesso lineare speciale, e del complesso 



2A ìm = 0 



e se, per brevità, poniamo : 



0 A = A t . I 2 -+- A m . ,u 2 4- k n . r 2 -+- (k f — k r ) fiv-i- (k g — k r/ ) vi + ( A — k e ')Xu 

 il sistema lineare di curve, rappresentativo delle rigate di K contenute nei 

 diversi complessi lineari dello spazio, è fornito dall'equazione: 



A h — (Xk a + fik b + vk c ) {lpi'-h m f -h vr?) <P 

 — (AA 0 H- /uA 6 H- rA c r) (% 4- agi 4- vii) & 

 4- (Xpi 4- fiqi 4- rr\ ) (lpy-h fiq^r-h vry) ® a = 0 (10) 



dove sono A i?e (ih = 12, ... , 34) i parametri variabili colle curve del sistema. 

 Dalla (10) si vede che le curve sono del 4° ordine, e che hanno a comune 

 i punti (semplici) : 



p. ( 



'= $ = 0, lp\ 4- M\ 4- vn = 0 a) , 



-t 2 ( 



ed i punti 



p,|= j «P = 0 , fy^4- f??'4- vrg'= 0 I*) ; 



ma non è difficile riconoscere che vi sono, oltre a questi, altri 5 punti co- 

 muni, che diremo Q t , ... , Q 5 . In fatti, risulta da un noto teorema di Halphen, 

 e del resto un breve ragionamento assicurerebbe di ciò direttamente, che il 

 sistema K ha comune con una congruenza lineare arbitraria 3 4-4 = 7 raggi; 

 perciò due rigate, rappresentate da due qualunque delle curve del sistema (10), 

 hanno a comune 7 generatrici variabili; e quindi le curve (10) si tagliano 

 a due a due in 7 punti non comuni a tutti, cioè esse hanno, oltre i punti 

 Vi ~P'i (i = 1, 2) altri 16—4 — 7 = 5 punti comuni. 



« Ciascuno dei punti P, P', Q rappresenta un fascio di rette in K, ciò 

 che riconferma l'esistenza in questo di nove di tali fasci (}). 



« 4. Alla retta che congiunge due punti fondamentali corrisponde in K 

 una rigata che ha comune con un complesso lineare arbitrario due genera- 

 trici, cioè una rigata del 2° ordine. Ne segue che in K vi sono 36 di tali 

 rigate ; possiamo però mostrare che di queste le due che corrispondono alle 

 rette Pi P 2 , P\ P' 2 sono coni coi vertici in £, £' rispettivamente. Infatti, le 

 rette che corrispondono ai punti di Y x P 2 sono date da 



q .p ik — «/' . ha, — (la lk 4- (.ibìk + rcin) (lpi> 4- ~+~ vr V) C 1 1 ) 



(') Cfr. la mia citata Nota : Su certi luoghi ecc. 



