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§ IV. 



Gaso in cui il sistema K riducesi ad una congruenza 



del 3° grado. 



« 11. Se la corrispondenza proiettiva fra (£) ed (S), fra (£') ed (S) è 

 tale che al piano 7T = ££'S di (S) corrispondono due rette in (£), (£') gia- 

 centi in 77-, allora è chiaro, vista la genesi stessa di K, che da questo si stacca 

 il piano rigato tv, e che quindi, sostanzialmente, esso riducesi ad una con- 

 gruenza del 3° grado. Per trovare allora quale modificazione subiscono i risul- 

 tati precedenti, basta supporre che si abbia, p. e. : 



PI = PV = — Po.' = 0 



con che si ha semplicemente : 

 # = p • « 2 -+- r T . v 2 H- (p$ -f- q a ) -f- (q 1 -f- rp ) hj< -+- (r a -+-pj ) vX 

 W qfy. « 2 -(- ry. v 2 -+- (p$'-h q*') X t u -+- (gy4- r$) (tv + (r a r-i- p^) vX 



e le formule (9) diventano : 



Q-PiU = ®-®-hh — (Afli» -f- uba + (/t^f -+- ITfr) <Z> 



— + re'in) {l<q\ + Wf) W 



+ + ^f) (MV + ,r -= ') • ) &s • ^ 2 + OT « • A 1 2 -J- «s* • *' 2 + 



+ (/ift — f'm) f-v -+- — + (e ift — 2^ j ; (9') 



e pel sistema lineare rappresentativo si ha: 



0> . «P . A* — (U a 4- «A & -h rA c ) (,u<^ H- »>m) # 

 — (AA a f-h i»Ay-f- rA c) («£5 4r ir| ) l f / 

 + + v n) {.Hi' + rr ?' ) ®a = 0. (10') 

 u È facile di vedere che per queste curve il punto p = 0, v = 0 è dop- 

 pio a tangenti variabili, poiché il 1° membro della (10') si annulla a 2° grado 

 per a = 0, i> = 0, e si ha per quelle tangenti l'equazione complessiva: 



Am 2 + Bh>'+ O 2 = 0 



ove si è posto : 



k = kt.qi qz> — A a gv'Qjp + y a ) — A o/ . g-| + q«$ 



B *= A z ?r + ^ rr) — A a j qsr (r a +p^) + r? (tf§ + ? a ) j 



— A a r j (/V -f- + rf (p$> + I 



C = A; . ^ m — A a rii (r a -4- — A a r . ^ (r a ' + 

 « Ne concludiamo che le congruenze del 3° grado le quali ammettono 

 una generazione proiettiva per mezzo di due stelle reciprocamente riferite ad 

 una terza, sono rappresentabili sul piano per mezzo di un sistema di curve 

 del 4° ordine dotate di un punto doppio comune a tangenti variabili, e di 

 6 punti semplici. Questa ultima affermazione è giustificata da che le rigate 

 della congruenza contenute nei diversi complessi lineari dello spazio sono del 

 6° grado ». 



