— 253 — : 



I 



Matematica. — Di un doppio isomorfismo nella teorica ge- 

 nerale delle sostituzioni. Nota di Giovanni Frattini, presentata 

 dal Socio Beltrami. 



« Quello che chiamo doppio isomorfismo, con vocabolo del quale spiego 

 la ragione nel n. 2 di questo lavoro, fornisce un mezzo efficacissimo per rive- 

 stire di forma analitico-funzionale lo studio dei gruppi di sostituzioni, e 

 specialmente l' importante ricerca dei loro sottogruppi eccezionali. Ecco bre- 

 vemente di che si tratta. — Supponendo che le sostituzioni di un gruppo, come 

 quelle del gruppo lineare 



= 1) 



dipendano da certi parametri a, /?, y, S ecc., varianti di sostituzione in sosti- 

 tuzione, la ricerca dei sottogruppi eccezionali si riduce, mercè il' doppio iso- 

 morfismo, al problema seguente : Essendo noto un certo gruppo di sostituzioni 

 aritmetiche sui parametri a, /?, y, ó ecc., trovarne tutti i sottogruppi dotati 

 di un certo grado di generalità. Per il gruppo lineare, il gruppo noto di 

 sostituzioni aritmetiche sui parametri a, fi, y, d è il seguente : 



(as — §r) M -f (ys — òr) N 

 (§m — an) M -j- (óm— yrì) N 

 (as — §r) R -\~ (ys — dr) S 

 (firn — an) R -f- (<Sm — yn) S 



« Supponendo per semplicità che a, fi, y e ó siano numeri interi, varia- 

 bili in tutto il campo definito dalla condizione ad — §y — 1 , e che M, N, 

 R, S, ed m, n, r, s siano due quaterne di numeri interi, variabili nei campi 

 MS — NR = 1, ms — nr = 1, le [A] determinano un gruppo di sostituzioni 

 aritmetiche, lineari e di determinante 1, sulle a, /?, y, ó ( t ). Or bene: cono- 



(!) Prescindendo per un momento dalla condizione ad — j3y=l, e supponendo che 

 nelle [A] le lettere rappresentino numeri di qualsivoglia specie, è facile "verificare che le 

 sostituzioni [A] trasformano in sè medesima la forma quaternaria 



ad — §y. 



Ponendo 



a = Xì -f- ix 3 , d = Xì — ÌXì , = y = Xi , 



dal gruppo [A] si ricaverebbe quel gruppo riproduttivo della forma 



%2 2 + Xa 2 — Xi Xì , 



che, supponendone reali i coefficienti, fu recentemente studiato dal Bianchi nella Memoria: 

 « Sui gruppi di sostituzioni lineari » (Math. Annalen, Bd. 42). 



Rendiconti. 1893, Vol. II, 1° Sem. 32 



(sostituzione sulla a) 



( » /) 



( » » r) [A] 



( » 6). 



I 



